狀態(tài)受限最優(yōu)控制問題的有限元方法.pdf

1、在近三十年來，分布參數(shù)最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法一直是一個非?；钴S的研究領(lǐng)域.有限元方法已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于數(shù)值求解不同類型的分布參數(shù)最優(yōu)控制問題.并且很多學(xué)者都認為有限元方法特別適合處理這一類型的問題. 雖然，最優(yōu)控制問題的有限元方法已經(jīng)有了大量優(yōu)秀的成果，但大部分的研究工作主要集中于控制受限的最優(yōu)控制問題.近些年來，一些學(xué)者開始考慮狀態(tài)受限的最優(yōu)控制問題的有限元方法.這類問題在實際應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)，但卻又非常難于處理。在這些學(xué)者中，

2、大部分研究工作主要關(guān)注于一個比較特殊的問題一狀態(tài)逐點受限問題.該問題具有約束形式：y≥（），相關(guān)的工作參閱[12，21，22，26，33].在一些適當?shù)臈l件下，對于狀態(tài)逐點受限的最優(yōu)控制問題，Casas在[21]中證明了Lagrange乘子在測度意義上存在.一般情況下對于純狀態(tài)受限問題，乘子是一個Radon測度.同時接觸集包含一些未知的自由邊界，而且在自由邊界附近解的正則性較低.因此，對于這個問題的有限元分析是非常困難的。然而，在近幾年

3、中，對于狀態(tài)逐點受限的最優(yōu)控制問題的有限元方法還是有了一些進展. 然而在實際的工程應(yīng)用中，人們通常更為關(guān)心如何約束狀態(tài)變量的平均值或者狀態(tài)變量一些能量范數(shù)。例如，我們希望控制流體的濃度或者流體的動能.所以其實也存在很多其它類型的狀態(tài)約束，如積分約束，L2模約束，H1模約束，等等.以前的有些學(xué)者研究了一些抽象形式的狀態(tài)約束.他們討論了相應(yīng)于問題的Lagrange乘子的存在性.但是對于這些問題的有限元逼近和誤差分析，很少有系統(tǒng)的研究

4、.近些年來，一些研究者開始關(guān)注這類問題的數(shù)值方法.Tiba和Troltzsch使用不精確的罰方法研究了一個狀態(tài)積分形式受限，拋物方程作為狀態(tài)方程的最優(yōu)控制問題.由于他們使用了不精確的罰方法，因而討論依賴于罰參數(shù)ε，并且對于觀測狀態(tài)正則性的一些假設(shè)在實際中也不太合適.另外一個相關(guān)工作是由Casas在[23]中給出的。對于半線性橢圓方程作為狀態(tài)方程，在有限個狀態(tài)約束下的最優(yōu)控制問題，Casas給出了有限元逼近的收斂性證明.隨后Casas和M

5、ateos在[25]中擴展了他們的結(jié)論：降低了對于狀態(tài)的正則性要求，并且也對半線性分布和邊界控制問題的有限元逼近也給出了收斂性證明.在他們的討論中，需要對解的局部性質(zhì)做很多假設(shè)，并且沒有給出有限元解的L2和L∞。模的最優(yōu)階誤差估計. 在本篇論文中，我們將對幾類整體型狀態(tài)受限的最優(yōu)控制問題及其有限元方法給出系統(tǒng)的研究. 在分布參數(shù)最優(yōu)控制問題的有限元方法研究中，另一個非常重要的方向是自適應(yīng)方法的研究.最近的研究表明合適的自

6、適應(yīng)網(wǎng)格可以大量減少有限元離散解的誤差. 為了得到精度可以接受的數(shù)值解，自適應(yīng)有限元方法的本質(zhì)是應(yīng)用后驗誤差估計子去指導(dǎo)網(wǎng)格的加密生成過程.只有當后驗誤差估計子數(shù)值比較大的地方才會被加密，因而計算節(jié)點比較高密度的分布在精確解比較難于被逼近的地方.所以，對于具有奇性的解，可以使用最少的自由度得到較為精確的數(shù)值逼近解.自適應(yīng)有限元方法目前已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用于各種科學(xué)計算.對于有效的處理偏微分方程的邊值問題和初邊值問題，自適應(yīng)有限元方法

7、的理論和應(yīng)用已經(jīng)到達了某種成熟的地步.相關(guān)的一些理論和技巧，可以參見[2，31，34，43，77，82，86-88]. 通常，最優(yōu)控制問題中的最優(yōu)控制具有一些奇性.例如在一個障礙類型的約束下，沿著接觸集邊界最優(yōu)控制的梯度有間斷.因此，數(shù)值計算的誤差通常主要分布在這些解有奇性的地方，參見[58].顯然，一個有效的離散格式應(yīng)該有較多的計算節(jié)點分布在這些地方.相反地，如果計算網(wǎng)格不能適當?shù)纳?，那么在控制有奇性或狀態(tài)有邊界層的地方會產(chǎn)

8、生較大的計算誤差.所以大量的研究表明，自適應(yīng)有限元方法應(yīng)用于計算最優(yōu)控制問題是非常有效的。已經(jīng)有大量文獻研究了控制受限最優(yōu)控制問題的自適應(yīng)方法.我們簡要的回顧一些相關(guān)工作，基于殘量方法的后驗誤差估計分別被：Liu和Yan[66]，Hintermuller和Hinze[44]，Gaevskaya、Hoppe和Repin[37]研究過.將對偶含權(quán)殘量方法應(yīng)用于最優(yōu)控制問題，可以參閱Becker和Rannacher的文獻[8].近來的一些研究

9、可以參閱[50，90].關(guān)于這一領(lǐng)域中的一些未解決的問題可以參閱[67]. 與控制受限的問題不同，自適應(yīng)方法處理狀態(tài)受限的最優(yōu)控制問題也是最近才有了一些初步的進展.對于狀態(tài)逐點受限問題，Hoppe和Kieweg在[49]中給出一個基于殘量的方法后驗估計.Guther和Hinze在[42]中將對偶含權(quán)殘量方法應(yīng)用于狀態(tài)受限的最優(yōu)控制問題.Bendix和Vexler在[9]中也給出了一個類似的方法.Wollner在[91]中給出一個

10、基于內(nèi)部點方法的自適應(yīng)方法，并且他還處理了狀態(tài)梯度受限的問題.但是一般學(xué)者都認為，狀態(tài)逐點受限問題的自適應(yīng)有限元方法還是一個未解決的問題.另一方面，限于作者的知識，目前還沒有關(guān)于積分或L2模狀態(tài)受限最優(yōu)控制問題的自適應(yīng)有限元方法的研究工作. 此外，多套網(wǎng)格在計算最優(yōu)控制問題中通常也是非常有用的，見Liu[64].在一個有約束的最優(yōu)控制問題中，最優(yōu)控制和狀態(tài)通常具有不同的光滑性，因此它們奇性的分布位置也是不同的。這就意味著用一套網(wǎng)

11、格的策略通常可能是效率很低的。多套自適應(yīng)網(wǎng)格（即：根據(jù)不同的后驗誤差指示子，對不同變量分別給出不同的自適應(yīng)網(wǎng)格）通常是必要的。由于通常最優(yōu)控制問題是一個非線性問題，需要迭代求解。對控制和狀態(tài)分別用不同的自適應(yīng)網(wǎng)格，可以允許用較粗網(wǎng)格去求解狀態(tài)方程和伴狀態(tài)方程.因為計算最優(yōu)控制主要的計算負載是在重復(fù)的求解狀態(tài)方程和伴狀態(tài)方程，所以大量的計算工作可以被節(jié)省，相關(guān)方面的研究，參見[50，57，68]. 在本篇論文中，結(jié)合使用多套網(wǎng)格，

12、我們將對于狀態(tài)受限積分約束和L2模約束的最優(yōu)控制問題給出相應(yīng)的自適應(yīng)有限元方法. 求解最優(yōu)控制需要將求解優(yōu)化過程和求解狀態(tài)方程統(tǒng)一結(jié)合起來.在現(xiàn)有的科學(xué)文獻中，已經(jīng)有大量關(guān)于最優(yōu)控制問題的快速數(shù)值算法的研究.主要有兩種方法：一種是著眼于最優(yōu)性條件，直接求解最優(yōu)性條件.這種方法通常需要求解一組偏微分方程.另外一種是直接離散原優(yōu)化問題，使其轉(zhuǎn)化成一個有限維的優(yōu)化問題，然后可以用標準現(xiàn)成的優(yōu)化軟件求解.關(guān)于這一領(lǐng)域的最新進展可以參閱[

13、46]和[85].然而上述兩種方法不能被視為完全無關(guān).在本篇論文中，基于優(yōu)化算法的思想，我們將介紹一個簡單但卻有效的梯度投影算法去求解離散后的有限元系統(tǒng)，并且我們給出了算法收斂性的證明.同時對于不易計算投影的問題，我們也給出了兩個鞍點搜索算法，并且證明了算法的收斂性. 本篇論文出一些關(guān)于狀態(tài)受限最優(yōu)控制問題的有限元方法的工作所構(gòu)成.狀態(tài)變量的約束在本質(zhì)上是積分類型.同狀態(tài)逐點受限問題不同，通常這類問題的解具有較高的正則性，所以可

14、以預(yù)期能得到一些有限元方法的成果.然而，限于作者的知識，到目前為止還很少有對此類問題作系統(tǒng)有限元分析的工作. 我們發(fā)展了一系列的技巧去研究這些不同類型的問題.顯然，我們在研究過程中使用的技巧和前人的完全不同.下面我們逐章的介紹論文的創(chuàng)新點： 在第二章中，討論了積分狀態(tài)受限的最優(yōu)控制問題.首先，我們證明了Lagrange乘子是一個實數(shù)，這一點為我們的數(shù)值分析奠定了基礎(chǔ).其次，我們得到了有限元解的誤差先驗估計.再次，通過使用

15、一個L2投影，我們得到了一些超收斂性的結(jié)果.并且利用這些結(jié)果，得出了最優(yōu)的L2和L∞模誤差估計.最后，我們提出了一個簡單但有效的梯度投影算法，并且證明了算法的收斂性.所有的結(jié)論都是基于使用多套網(wǎng)格，這仲方式特別適合處理控制和狀態(tài)具有不同奇性的問題. 在第三章中，討論了L2模狀態(tài)受限的最優(yōu)控制問題.首先，我們證明了Lagrange乘子滿足：λ=ty，其中t是一個實數(shù)，而y是狀態(tài).其次，我們得到了有限元解的誤差先驗估計.再次，通過使

16、用一個L2投影，我們得到了一些超收斂性的結(jié)果.并且利用這些結(jié)果，得出了最優(yōu)的L2和L∞模誤差估計.最后，我們給出了相應(yīng)的梯度投影算法，并且證明了算法的收斂性.所有的結(jié)論也是基于使用多套網(wǎng)格. 對于狀態(tài)積分受限和L2模受限的最優(yōu)控制問題，第四章研究它們相應(yīng)的自適應(yīng)有限元方法.我們分別得到了這兩類問題的等價的后驗誤差估計子.這些估計子特別適宜應(yīng)用于多套自適應(yīng)網(wǎng)格，去捕捉控制和狀態(tài)的不同奇性分布. 在第五章中，我們討論了H1模

17、狀態(tài)受限的最優(yōu)控制問題.首先，證明了Lagrange乘子滿足：λ=t（u+y），其中亡是一個實數(shù)，u，y分別是控制和狀態(tài).其次，我們得到了有限元解的先驗誤差估計.最后，我們給出了相應(yīng)的梯度投影算法，并且證明了算法的收斂性.所有的結(jié)論也是基于使用多套網(wǎng)格. 基于第二章的一些結(jié)論，我們在第六章研究了一個積分形式控制和狀態(tài)同時受限的最優(yōu)控制問題.我們得到了有限元解的收斂性結(jié)論和誤差先驗估計.給出了兩類鞍點搜索算法來處理同時受限的最優(yōu)控