某些帶奇性的半線性橢圓方程的多解問題.pdf

1、解的存在性問題有很多種研究方法，如不動(dòng)點(diǎn)方法，拓?fù)涠确椒ǖ?我們主要是采用變分方法.變分法問題有著極為豐富的源泉，從經(jīng)典力學(xué)到場(chǎng)論，其中所研究的一切物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律都遵從“變分原理”，即存在著某個(gè)泛函，使得對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程是它的Euler方程，因此，求這些Euler方程的解就轉(zhuǎn)化為尋求對(duì)應(yīng)泛函的臨界點(diǎn). 古典變分法理論旨在確定泛函的極值和極值點(diǎn).由此產(chǎn)生了極小化序列方法及泛函的下半連續(xù)性方法，延續(xù)到今天依然是研究泛函極值問題的基本手

2、段.為了從泛函本身的性態(tài)判定出未必是極值點(diǎn)的臨界點(diǎn)，極小化序列方法已不再適用，由此產(chǎn)生了大范圍變分法.早在上個(gè)世紀(jì)二，三十年代，就分別提出了兩種聯(lián)系緊流形上函數(shù)的臨界點(diǎn)的行為與流形自身拓?fù)湫再|(zhì)的理論.通過這些聯(lián)系，用流形自身的拓?fù)洳蛔兞靠梢怨烙?jì)出其上的函數(shù)臨界點(diǎn)的個(gè)數(shù).同時(shí)出現(xiàn)了Morse理論和疇數(shù)理論.而到了五，六十年代，人們對(duì)非線性積分方程進(jìn)行了研究，并把Morse理論和疇數(shù)理論推廣到無窮維流形上.這些都為臨界點(diǎn)理論推廣應(yīng)用到分析問

3、題上作出了必要的準(zhǔn)備.到了七，八十年代，變分理論又有了重大的進(jìn)展，一方面前述理論更深入地應(yīng)用到更多的微分方程問題上，在方法上有了新的發(fā)展；另一方面，由A.Ambrosetti和P.H.Rabinowitz在1973年提出的山路引理(Mountain Passlemma)又引出了一系列新的極大極小值定理，這些定理可以處理既無上界又無下界的泛函的變分問題.山路引理在解的存在性方面起了重要的作用，是-個(gè)很有用的定理.除了山路引理外還有環(huán)繞定理

4、[7]等都是研究解的存在性的重要定理. 山路引理及各種山路定理的建立，特別是它們?cè)诜蔷€性微分方程各種問題的應(yīng)用中取得了許多很有意義的新結(jié)果，吸引了不少的數(shù)學(xué)家從事臨界點(diǎn)理論的研究，從而使臨界點(diǎn)理論及其應(yīng)用的成果在近20多年取得了重大的進(jìn)展. 本文主要是考慮了半線性橢圓方程： 本文共分四章. 緒論，介紹上述非線性橢圓問題的研究背景. 第一章，介紹Sobolev空間的一些基本知識(shí)，基本引理以及一些記號(hào)

5、說明以便后面各節(jié)的引用. 第二章，運(yùn)用環(huán)繞定理以及精確估計(jì)來討論一類半線性橢圓方程，由于方程在零點(diǎn)具有奇性，我們給出了條件(1)，(2)以及-些引理，我們得到如下的結(jié)論，其中-個(gè)是在-個(gè)適當(dāng)?shù)男∏騼?nèi)達(dá)到局部極小，另-個(gè)是通過Mountain-Pass定理，集中緊原理得出的，第三個(gè)是在0≤μ<-μ，N≥3，0

6、)，(h1)，則存在ε0>0，方程(Pε)存在兩個(gè)非負(fù)解.進(jìn)一步，如果h滿足(h0)，(h2)，則這兩個(gè)解是正解. 事實(shí)上，方程(Pε)可以看成是方程 因此，我們可以得出另-個(gè)結(jié)論: 定理3.1.2假設(shè)^是連續(xù)的泛函并且滿足(h1)，(h2)w:=supp h是緊的，則存在ε1>0，μ1>0和ζ1∈RN，使得對(duì)所有的|ε|<ε1，當(dāng)ε→0時(shí)，方程(Pε)有-個(gè)正解u1，ε，且u1，ε→zμ，ζ. 第四章，