關于D-空間的若干結果.pdf

1、作為現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，一般拓撲學自開創(chuàng)至今蓬勃發(fā)展，特別是在二十世紀四十年代到七十年代期間更是經歷了一段輝煌時期.在拓撲學的發(fā)展過程中，各類具有良好性質的拓撲空間越來越多的被引入進來，充實了一般拓撲學的研究范疇.D-空間類正是在這種大形勢下產生的.上世紀七十年代，vail Douwen在他的博士論文中引入了D-空間的概念；后來在著名的論文“Some properties of the Sorgenfrey line and rel

2、ated spaces”中，van Douwen與Pfeffer明確地給出了D-空間的定義并進行了探討，這也是第一次在正式出版論文中出現(xiàn)了有關D-空間的結果。D-空間有著許多良好的覆蓋性質；同時，van Douwen還提出了一些關于D-空間的有趣的問題。這些因素的存在引起了其他拓撲學家的注意，他們開始投入到D-空間理論的研究中.尤其是在近些年來，諸如Arhangel'skii與Buzyakova，Gruenhage，F(xiàn)leissner與

3、Stanley，彭良雪，林壽等國內外著名的拓撲學家做了大量工作，發(fā)表了一系列關于D-空間理論的重要論文.這些工作不僅發(fā)展了D-空間的理論體系，更是激發(fā)了更多的拓撲學工作者對D-空間理論的研究熱情。 第一章，首次證明了t-可度量化空間是D-空間.Dow，Junnila以及Pelant[2006]定義了t-可度量化空間的概念，它是具有點可數(shù)基的空間類的嚴格推廣。另外，Gruenhage在“A note on D-spaces”一文中

4、定義了近良好關系，為發(fā)現(xiàn)新的D-空間類提供了一些有效方法.在第1.3節(jié)中，通過建立t-可度量化空間上的近良好關系，證明了任一t-可度量化空間都是遺傳D-空間，并且得到了一些重要推論.在第1.4節(jié)中，對D-空間的并空間理論進行了探討.并以第1.3節(jié)中得到的結果作為基礎，引入了強點可數(shù)可擴張網絡的概念，證明了有限多個具有強點可數(shù)可擴張網絡的子空間的并是D-空間，進而又證明了有限多個screenableσ-子空間的并是D-空間. 第二

5、章，工作分為兩個部分。在第2.3節(jié)中，主要對局部上存在D-空間性質的空間(稱之為局部D-空間)進行了探討，證得了每一個submetacompact局部D-空間是D-空間。在第2.4節(jié)中，繼續(xù)對D-空間的并空間理論進行研究，主要針對滿足open(G)的空間展開工作，證明了有限多個滿足open(G)的子空間的并是D-空間。值得注意的是，Arhangel'skii在“D-spaces and finite unions”一文中證明了有限多個具

6、有點可數(shù)基的子空間的并是D-空間。由于每個具有點可數(shù)基的空間都是滿足open(G)的，因此上述結果推廣了Arhangel'skii的結論。 第三章，引入了一類嚴格弱于D的空間，稱之為線性D-空間。在第3.3節(jié)與第3.4節(jié)中對該類空間進行了深入探討。首先給出了該空間類的幾種等價刻畫，之后得出了一些結果：每一個δθ-加細空間是線性D-空間；一個拓撲空間是D-空間，如果該空間是有限多個線性D-空間的并。Arhangel'skii多次在

7、他的文章中提出了這樣一個問題：如果一個可數(shù)緊空間是可數(shù)多個D-子空間的并，那么該空間是不是緊空間?該問題分別被Juhasz、Gerlitz與Szentmiklossy[2005]，以及彭良雪[2007]所獨立解決。在第3.4節(jié)中將這樣的結果進行了推廣，證明了可數(shù)緊空間是緊致的如果該空間是可數(shù)多個線性D-子空間的并。另外，還證明了一個具有可數(shù)extent的空間X如果是有限多個δθ-加細子空間的并，則X是Lindelof空間。在第3.5節(jié)中

8、，考察了Dσ-空間與線性D-空間的關系，得知線性D-空間同樣是Dσ-空間的嚴格推廣。 第四章，主要針對Arhangel'skii提出的一個問題進行了回答.在“D-spaces and covering properties”一文中，Arhangel'skii引入了Alexandroff-Downer extension的概念，并提出了這樣的問題：從內在的形式出發(fā)，分別刻畫具有點可數(shù)基的空間類與具有σ-不交基的空間類的Alexan