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文檔簡介
1、作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支,一般拓?fù)鋵W(xué)自開創(chuàng)至今蓬勃發(fā)展,特別是在二十世紀(jì)四十年代到七十年代期間更是經(jīng)歷了一段輝煌時期.在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展過程中,各類具有良好性質(zhì)的拓?fù)淇臻g越來越多的被引入進(jìn)來,充實了一般拓?fù)鋵W(xué)的研究范疇.D-空間類正是在這種大形勢下產(chǎn)生的.上世紀(jì)七十年代,vail Douwen在他的博士論文中引入了D-空間的概念;后來在著名的論文“Some properties of the Sorgenfrey line and rel
2、ated spaces”中,van Douwen與Pfeffer明確地給出了D-空間的定義并進(jìn)行了探討,這也是第一次在正式出版論文中出現(xiàn)了有關(guān)D-空間的結(jié)果。D-空間有著許多良好的覆蓋性質(zhì);同時,van Douwen還提出了一些關(guān)于D-空間的有趣的問題。這些因素的存在引起了其他拓?fù)鋵W(xué)家的注意,他們開始投入到D-空間理論的研究中.尤其是在近些年來,諸如Arhangel'skii與Buzyakova,Gruenhage,F(xiàn)leissner與
3、Stanley,彭良雪,林壽等國內(nèi)外著名的拓?fù)鋵W(xué)家做了大量工作,發(fā)表了一系列關(guān)于D-空間理論的重要論文.這些工作不僅發(fā)展了D-空間的理論體系,更是激發(fā)了更多的拓?fù)鋵W(xué)工作者對D-空間理論的研究熱情。 第一章,首次證明了t-可度量化空間是D-空間.Dow,Junnila以及Pelant[2006]定義了t-可度量化空間的概念,它是具有點可數(shù)基的空間類的嚴(yán)格推廣。另外,Gruenhage在“A note on D-spaces”一文中
4、定義了近良好關(guān)系,為發(fā)現(xiàn)新的D-空間類提供了一些有效方法.在第1.3節(jié)中,通過建立t-可度量化空間上的近良好關(guān)系,證明了任一t-可度量化空間都是遺傳D-空間,并且得到了一些重要推論.在第1.4節(jié)中,對D-空間的并空間理論進(jìn)行了探討.并以第1.3節(jié)中得到的結(jié)果作為基礎(chǔ),引入了強(qiáng)點可數(shù)可擴(kuò)張網(wǎng)絡(luò)的概念,證明了有限多個具有強(qiáng)點可數(shù)可擴(kuò)張網(wǎng)絡(luò)的子空間的并是D-空間,進(jìn)而又證明了有限多個screenableσ-子空間的并是D-空間. 第二
5、章,工作分為兩個部分。在第2.3節(jié)中,主要對局部上存在D-空間性質(zhì)的空間(稱之為局部D-空間)進(jìn)行了探討,證得了每一個submetacompact局部D-空間是D-空間。在第2.4節(jié)中,繼續(xù)對D-空間的并空間理論進(jìn)行研究,主要針對滿足open(G)的空間展開工作,證明了有限多個滿足open(G)的子空間的并是D-空間。值得注意的是,Arhangel'skii在“D-spaces and finite unions”一文中證明了有限多個具
6、有點可數(shù)基的子空間的并是D-空間。由于每個具有點可數(shù)基的空間都是滿足open(G)的,因此上述結(jié)果推廣了Arhangel'skii的結(jié)論。 第三章,引入了一類嚴(yán)格弱于D的空間,稱之為線性D-空間。在第3.3節(jié)與第3.4節(jié)中對該類空間進(jìn)行了深入探討。首先給出了該空間類的幾種等價刻畫,之后得出了一些結(jié)果:每一個δθ-加細(xì)空間是線性D-空間;一個拓?fù)淇臻g是D-空間,如果該空間是有限多個線性D-空間的并。Arhangel'skii多次在
7、他的文章中提出了這樣一個問題:如果一個可數(shù)緊空間是可數(shù)多個D-子空間的并,那么該空間是不是緊空間?該問題分別被Juhasz、Gerlitz與Szentmiklossy[2005],以及彭良雪[2007]所獨立解決。在第3.4節(jié)中將這樣的結(jié)果進(jìn)行了推廣,證明了可數(shù)緊空間是緊致的如果該空間是可數(shù)多個線性D-子空間的并。另外,還證明了一個具有可數(shù)extent的空間X如果是有限多個δθ-加細(xì)子空間的并,則X是Lindelof空間。在第3.5節(jié)中
8、,考察了Dσ-空間與線性D-空間的關(guān)系,得知線性D-空間同樣是Dσ-空間的嚴(yán)格推廣。 第四章,主要針對Arhangel'skii提出的一個問題進(jìn)行了回答.在“D-spaces and covering properties”一文中,Arhangel'skii引入了Alexandroff-Downer extension的概念,并提出了這樣的問題:從內(nèi)在的形式出發(fā),分別刻畫具有點可數(shù)基的空間類與具有σ-不交基的空間類的Alexan
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