兩種類型分紅問題及常利率更新模型研究.pdf

1、古典風險模型是一個時齊的具有平穩(wěn)獨立增量性質(zhì)的隨機過程，這一模型首先是有瑞典經(jīng)算師FilipLundberg于1903年的博士論文中提出，隨后由瑞典的精算師HaraldCramer對這一模型進行了嚴格數(shù)學(xué)化處理，使之建立在嚴格的隨機過程理論之上，所以古典風險模型也稱為Lundberg-Cram&模型(簡稱為L-C模型)。對L-C模型的研究已經(jīng)經(jīng)歷了一百多年的歷史，目前已基本趨于完善，幾近完美，各種保險精算量都得到完整精確的分析表達式。本

2、論文致力于將L-C模型發(fā)展為以下幾種不同風險模型進行研究，它們包括：帶擾動古典風險模型，常利率更新風險模型，經(jīng)濟環(huán)境下帶擾動古典風險模型，帶擾動的常利率更新風險模型。主要研究了帶擾動古典風險模型的精算診斷量的聯(lián)合分布以及在兩種不同分紅策略下的累計折現(xiàn)分紅；常利率更新風險模型的Gerber-Shiu罰金函數(shù)，以及經(jīng)濟環(huán)境下帶擾動古典風險模型的破產(chǎn)概率的上界估計和保費計算公式。 本論文由三部分組成：(1)帶擾動古典風險模型；(2)兩

3、種類型的分紅問題；(3)常利率更新風險模型。 我們首先研究了帶擾動古典風險模型。由于帶擾動古典風險模型可以看成一個古典風險模型與一個布朗運動的和，或者是一個帶漂移布朗運動與一個復(fù)合Possion過程的和，所以對帶擾動古典風險模型我們從研究(帶漂移)布朗運動入手，在第一章分別得到帶漂移布朗運動的幾種極大值與極小值的概率分布函數(shù)的分析表達式；布朗運動關(guān)于雙側(cè)逐段線性邊界的首出時分布；資產(chǎn)與負債為幾何布朗運動的風險模型的破產(chǎn)概率及最值

4、分布。受Wuetal.(2003)，ZhangandWang(2003)等文章的啟發(fā)，利用帶擾動古典風險模型的強Markov性，Levy過程的許多特性，比如獨立增量性和時空齊次性，特別是布朗運動的各種特性以及前面得到的有關(guān)(帶漂移)布朗運動的結(jié)果，首次得出了這個模型中八個有重要實際意義的精算診斷量的聯(lián)合分布的明確表達式，它們包括破產(chǎn)時，末離時，破產(chǎn)后到余額首次恢復(fù)為非負的時間，破產(chǎn)前瞬間盈余，破產(chǎn)時赤字，破產(chǎn)前最大盈余，破產(chǎn)后到余額首次

5、恢復(fù)為非負這段時間的最大赤字，破產(chǎn)后到末離時之前的最大盈余，這是帶擾動古典風險模型中納入重要精算診斷量最多的一個聯(lián)合分布。 論文第二章主要研究帶擾動古典風險模型的分紅問題。分紅問題是聯(lián)系金融和保險兩方面的重要研究課題，是當前國際上風險理論研究的熱點之一。Gerber-Shiu(2004，2005b)對帶漂移的布朗運動模型做了研究，受他們的啟發(fā)，我們主要研究帶擾動的古典風險模型，由于該模型是在前述模型的基礎(chǔ)上追加了索賠(即隨機跳)

6、項，使問題的研究變得更加困難，不能沿用GerberandShiu(2004，2005b)的方法去做。由于所研究的模型是軌道右連續(xù)的Markov過程，同時又是Levy過程，我們充分利用了它所具有的這種特性，首先證明了第一種分紅策略下的累計折現(xiàn)分紅函數(shù)，在索賠分布密度函數(shù)連續(xù)時，關(guān)于初始余額的二次連續(xù)可微性；受GerberandShiu(2004)的啟發(fā)，獲得了它以及修正余額過程的破產(chǎn)時的Laplace變換所滿足的積分微分方程，并用完全不同

7、于GerberandShiu(2004)的方法求出了它們的精確解，在求得的解的卷積表達式中去掉隨機跳(即讓Possion索賠記數(shù)過程{N(t)，t≥0)的參數(shù)λ=0)以后所得結(jié)果與GerberandShiu(2004)的結(jié)果完全一致。受GerberandShiu(2005b)的啟發(fā)，用類似的方法，研究了帶擾動古典風險模型在第二種分紅策略下的累計折現(xiàn)分紅，破產(chǎn)時的Laplace變換，累計折現(xiàn)分紅的矩母函數(shù)等問題，得到上述量的分析表達式，推

8、廣了GerberandShiu(2004，2005b)的相應(yīng)結(jié)果。 本論文第三章主要研究了常利率更新風險模型.眾所周知，更新風險模型是一類比古典風險模型更為廣泛的風險模型，致力研究的人很多。但是令人遺憾的是對此模型的研究進展不大，就破產(chǎn)概率而言可以利用隨機游動的梯度高度，得到一個公式，但是如何計算梯度高度目前并沒有一般的方法解決，僅僅對一些特殊的索賠分布能夠求出；至于最重要Gerber-Shiu罰金函數(shù)(聯(lián)系三個重要精算量)也僅

9、僅導(dǎo)出了它所滿足的方程。當前在風險模型中增加經(jīng)濟環(huán)境研究十分重要，自然最直接的就是研究常利率更新模型。由于更新模型本身研究還不深入，所以對常利率更新模型的研究更加困難，目前僅有CaiandDickson(2003)給出了破產(chǎn)概率的上界估計式，可以說對常利率更新模型的研究既沒有得到令人滿意的結(jié)果，也沒有特別有效的解決問題的方法，這種情況極大地激發(fā)了我們研究這一模型積極性。 受Wuetal.(2005)論文的啟發(fā)，使用了完全不同于別

10、人的方法，在一般的情況下導(dǎo)出了重要的Gerber-Shiu罰金函數(shù)的精確解析表達式，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出著名保險精算學(xué)家Dickson(2002)關(guān)于常利率古典風險模型所導(dǎo)出的方程，并回答了他的open問題，隨后給出了破產(chǎn)概率上下界估計式并且證明了Gerber-Shiu公式(見GerberandShiu，1998，(2.40))對于常利率更新風險模型亦然成立。尤為重要的是從常利率更新問題的研究中我們尋找到一個解決更新模型的有效途徑，它不僅可

11、以解決常利率更新模型，而且可以用于解決隨機利率的更新問題。本章最后一部分，我們討論了經(jīng)濟環(huán)境下帶擾動古典風險模型，此模型是在古典風險模型基礎(chǔ)之上考慮到利息力度與物價上漲力度，同時增加一個隨機擾動項-布朗運動，它在實際資產(chǎn)運行過程中表示保險公司所獲得的一項不確定收入或支出。我們知道古典風險模型具有非常優(yōu)良的性質(zhì)，比如平穩(wěn)獨立增量性，時齊強Markov性，Levy過程的時空齊次性等才使得古典風險模型的問題研究得到比較徹底的解決，受此啟發(fā)，首

12、先討論此過程所具有的性質(zhì)，利用指數(shù)分布無記憶性，以及單調(diào)類定理證明了經(jīng)濟環(huán)境下帶擾動古典風險模型仍然具有獨立增量性，但是不再具有增量平穩(wěn)的性質(zhì)；并且得到了其增量的特征函數(shù)的明確表達式，這為我們下一步進行保費計算公式的推導(dǎo)提供了保證。然后通過構(gòu)造一個指數(shù)鞅，利用可選停時定理，獲得有限時間破產(chǎn)概率的一個上界，推廣了Gerber(1973)的相關(guān)結(jié)果。隨后討論了此模型下的保費計算問題，根據(jù)各種不同的保費計算原理：平衡原理，期望值原理，指數(shù)函數(shù)