常利率風(fēng)險(xiǎn)模型中的最優(yōu)分紅問題.pdf

1、精算數(shù)學(xué)是源自金融、保險(xiǎn)企業(yè)的管理而產(chǎn)生的應(yīng)用數(shù)學(xué)，而風(fēng)險(xiǎn)理論則是精算數(shù)學(xué)中最具有理論性的組成部分。最初的風(fēng)險(xiǎn)理論主要是研究保險(xiǎn)公司所關(guān)心的幾個(gè)精算量，例如破產(chǎn)概率、破產(chǎn)時(shí)、破產(chǎn)前余額、破產(chǎn)赤字等.在過去的幾十年里，在研究上述幾個(gè)精算量方面取得了豐碩的成果。然而，這些精算量?jī)H僅代表了公司所面臨的風(fēng)險(xiǎn)，隨著金融保險(xiǎn)市場(chǎng)的蓬勃發(fā)展，相對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)來說，保險(xiǎn)公司越來越關(guān)心它們的收益，其中最具有代表性的收益是公司破產(chǎn)之前總的分紅量。所謂的分紅是指將

2、公司部分收益(盈余)分配給股東或初始準(zhǔn)備金的提供者.可以看到總的分紅量的大小代表著公司的效益，同時(shí)也象征了它的競(jìng)爭(zhēng)力。因此，相對(duì)于破產(chǎn)概率來說，保險(xiǎn)公司會(huì)更關(guān)心它們的分紅量。很自然，這時(shí)公司就會(huì)面臨著一個(gè)問題，既如何選擇最優(yōu)的分紅策略使得破產(chǎn)前總的折現(xiàn)分紅量達(dá)到最大。鑒于這種實(shí)際的需求，最優(yōu)分紅問題已經(jīng)成為風(fēng)險(xiǎn)理論中研究的最熱點(diǎn)問題。
　　 最優(yōu)分紅問題的研究已具有很長(zhǎng)的歷史，最初是由Finetti在1957年第十五屆國(guó)際精算會(huì)

3、議上提出的。當(dāng)時(shí)，F(xiàn)inetti研究了一類簡(jiǎn)單的離散時(shí)間的隨機(jī)游動(dòng)，證明了最優(yōu)的分紅策略是存在的，并且可以表示成一種上界為常數(shù)的邊界策略.隨后，在Finetti的結(jié)果基礎(chǔ)之上，許多文獻(xiàn)研究了更一般的離散時(shí)間的隨機(jī)模型，證明了所謂的帶狀策略是最優(yōu)的分紅策略形式。對(duì)于連續(xù)時(shí)間的風(fēng)險(xiǎn)模型，一直到1969年才由Gerber首次研究最優(yōu)分紅問題。Gerber考慮的是古典復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型，證明了最優(yōu)的分紅策略形式是一種帶狀策略；特別地，當(dāng)索賠大小服

4、從指數(shù)分布的時(shí)候，這種策略就簡(jiǎn)化為邊界策略.在隨后的幾十年內(nèi)，由于數(shù)學(xué)工具的缺乏，最優(yōu)分紅問題的研究沒有更實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展。直到二十世紀(jì)九十年代，精算學(xué)家開始把隨機(jī)控制理論應(yīng)用到風(fēng)險(xiǎn)問題中，從而使分紅問題的研究得到了突破性進(jìn)展.其中，具有代表性的文獻(xiàn)為Assumsen and Tlaksat(1997)。其作者通過HJB方程的方法得到了帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)模型下的最優(yōu)分紅策略：當(dāng)對(duì)分紅率沒有限制的時(shí)候，最優(yōu)的分紅策略形式為邊界策略；當(dāng)分紅率有常

5、數(shù)上界的時(shí)候，最優(yōu)的分紅策略形式為臨界策略。在此之后，許多文獻(xiàn)相繼利用隨機(jī)控制理論來研究最優(yōu)分紅問題，例如，Azcue and Muler(2005)，Gerber and Shiu(2006b)，Schmidli(2006，2008)和Albrecher andThonhauser(2008)。其中，Azcue ancl Muler在古典風(fēng)險(xiǎn)模型中同時(shí)考慮最優(yōu)分紅和最優(yōu)再保險(xiǎn)問題，利用HJB方程粘性解的理論證明了最優(yōu)的分紅策略形式是帶

6、狀策略。Gerber and Shiu研究了古典風(fēng)險(xiǎn)模型中分紅率有限制的情況，證明了對(duì)于服從指數(shù)分布的索賠，最優(yōu)的分紅策略為臨界策略。而Schmidli則采用了HJB方程非粘性解的方法，重新討論了古典風(fēng)險(xiǎn)模型中的最優(yōu)分紅問題，分別研究了分紅率有限制和沒有限制兩種情況下的最優(yōu)策略，得到了更一般更全面的結(jié)果。Albrecher and Thonhauser利用HJB方程粘性解的理論研究了古典帶常利率風(fēng)險(xiǎn)模型中的最優(yōu)分紅策略，證明了對(duì)于一般的

7、索賠分布，最優(yōu)的分紅策略形式為帶狀策略；對(duì)于指數(shù)分布索賠，最優(yōu)分紅策略的形式則簡(jiǎn)化為邊界策略.另外，也有一些文獻(xiàn)利用隨機(jī)過程理論和隨機(jī)控制理論相結(jié)合的方法研究邊界策略是最優(yōu)的分紅策略的條件，例如，Avram et al.(2007)和Loeffen(2008)。他們研究的模型為普負(fù)的Levy過程，利用該過程的波動(dòng)理論，他們給出了最優(yōu)的分紅策略形式為邊界策略的充分條件。
　　 關(guān)于最優(yōu)分紅問題的研究已經(jīng)有半個(gè)多世紀(jì)了，但僅僅對(duì)于帶

8、漂移的布朗運(yùn)動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型研究的比較完善。對(duì)于其它風(fēng)險(xiǎn)模型，尤其是帶跳的風(fēng)險(xiǎn)模型，仍然有許多重要的問題等待我們?nèi)ソ鉀Q。在過去的幾十年里，人們喜歡用帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)和古典復(fù)合泊松過程去刻畫公司的盈余過程，這兩類風(fēng)險(xiǎn)模型都具有平穩(wěn)獨(dú)立增量性的特點(diǎn)，因此很多問題容易解決.但最近十幾年，隨著金融事業(yè)的蓬勃發(fā)展，保險(xiǎn)與金融的結(jié)合已經(jīng)成為必然的趨勢(shì)，因此對(duì)保險(xiǎn)公司來說，只考慮上述兩類風(fēng)險(xiǎn)模型是不切實(shí)際的。為了使模型更貼近于實(shí)際情況，我們可以把模型進(jìn)行推

9、廣。因此，在本論文中，我們研究常利率風(fēng)險(xiǎn)模型。這類風(fēng)險(xiǎn)模型也是風(fēng)險(xiǎn)理論中一類重要的模型，如果將公司的盈余投資到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，例如儲(chǔ)蓄或者債券，用常利率風(fēng)險(xiǎn)模型來刻畫投資后的盈余過程是比較合理的。
　　 基于上述理論和研究背景，我的博士學(xué)位論文主要致力于以下幾個(gè)方面的研究：古典帶常利率風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅問題、相應(yīng)的擴(kuò)散近似風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅問題以及帶有資金注入的常利率風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅問題。本篇論文的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容安排如下：
　　

10、 第一章，主要介紹最優(yōu)分紅的準(zhǔn)則、研究的背景以及論文的主要內(nèi)容，同時(shí)介紹在本論文中起到關(guān)鍵作用的函數(shù)-合流超幾何函數(shù)以及他們的主要性質(zhì)。
　　 第二章，討論古典帶常利率風(fēng)險(xiǎn)模型中分紅率沒有限制的情況下邊界策略的最優(yōu)性。首先，利用過程的強(qiáng)馬爾科夫性，得到了所有邊界策略下分紅價(jià)值函數(shù)的表達(dá)式。其次，討論了在所有的邊界策略中最優(yōu)的邊界策略。再次，利用HJB方程的方法討論了該最優(yōu)的邊界策略在所有可行策略中的最優(yōu)性，給出了最優(yōu)分紅策略形

11、式為該邊界策略的條件。最后，利用所得到的結(jié)論，證明了在索賠大小服從指數(shù)分布的情況下，所找到的最優(yōu)的邊界策略的確在所有可行策略中是最優(yōu)的。另外，在本章最后一節(jié)，我們還討論了在沒有折現(xiàn)的情況下，破產(chǎn)前總分紅的分布：為一個(gè)在零點(diǎn)的退化分布和一個(gè)指數(shù)分布的混合分布。
　　 第三章，研究古典帶常利率風(fēng)險(xiǎn)模型中分紅率有限制的情況下最優(yōu)的分紅策略。首先，我們假定分紅是按照某動(dòng)力分紅率支出的，該分紅率被一個(gè)正常數(shù)所控制。利用隨機(jī)控制理論中的動(dòng)態(tài)

12、規(guī)劃原理，我們推導(dǎo)出了最大分紅價(jià)值函數(shù)所滿足的HJB方程。其次，利用HJB方程和此價(jià)值函數(shù)的性質(zhì)，我們構(gòu)造了一種可行的分紅策略。然后，利用最優(yōu)性驗(yàn)證定理，我們證明了所構(gòu)造的策略在所有的可行策略中是最優(yōu)的。該最優(yōu)的分紅策略形式為：把區(qū)間[0，∞)分成兩個(gè)集合A和B，當(dāng)盈余過程處在集合A的時(shí)候，沒有分紅支出，即分紅率為零；當(dāng)盈余過程處在集合B的時(shí)候，分紅以最大分紅率連續(xù)支出。另外，我們還考慮了索賠大小服從指數(shù)分布的情況，對(duì)于這類特殊分布，最

13、優(yōu)的分紅策略形式簡(jiǎn)化為一個(gè)臨界策略。最后，我們討論了在臨界策略下，破產(chǎn)時(shí)的拉普拉斯變換，在指數(shù)索賠的情況下得到了明確的表達(dá)式。
　　 第四章，研究古典帶常利率風(fēng)險(xiǎn)模型的一個(gè)擴(kuò)散近似風(fēng)險(xiǎn)模型-帶常利率的漂移布朗運(yùn)動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)模型。對(duì)于該風(fēng)險(xiǎn)模型，當(dāng)對(duì)分紅沒有限制的時(shí)候，結(jié)合Caiet al.(2006)和Shreve et al.(1984)兩篇文章的結(jié)果，可以證明在所有的可行策略中最優(yōu)的分紅策略為一個(gè)邊界策略.在本章中我們將討論分紅有

14、限制的情況。我們假定分紅率不會(huì)超過一個(gè)固定的正常數(shù).首先，我們只考慮臨界分紅策略。利用概率的方法，得到了臨界策略下分紅價(jià)值函數(shù)的表達(dá)式。然后，在所有的臨界策略中我們找到了最優(yōu)的臨界水平。最后，利用HJB方程的方法，我們證明了最優(yōu)的臨界策略的確在所有的可行策略中是最優(yōu)的。另外，在本章最后一節(jié)我們還討論了在臨界策略下，破產(chǎn)時(shí)的拉普拉斯變換，得到了明確的表達(dá)式。
　　 第五章，我們研究帶有分紅支出和資金注入的古典帶常利率風(fēng)險(xiǎn)模型。我們

15、假定保險(xiǎn)公司是不允許破產(chǎn)的，股東或分紅受益人應(yīng)當(dāng)通過資金注入的方法使得公司的資產(chǎn)保持非負(fù)。對(duì)于這個(gè)模型，我們?cè)噲D找到一種可行的策略使得折現(xiàn)分紅和處罰折現(xiàn)注入資金的差的期望最大.利用隨機(jī)控制理論，我們首先推導(dǎo)出最大價(jià)值函數(shù)所滿足的HJB方程.然后，通過HJB方程和此價(jià)值函數(shù)的凹性我們找到了最優(yōu)的分紅支出和資金注入策略。此最優(yōu)策略為：當(dāng)分紅率被某一個(gè)正常數(shù)所控制的時(shí)候，最優(yōu)的分紅策略為一個(gè)臨界策略；當(dāng)對(duì)分紅率沒有限制的時(shí)候，最優(yōu)的分紅策略為