常利率風險模型中的最優(yōu)分紅問題.pdf

1、精算數學是源自金融、保險企業(yè)的管理而產生的應用數學，而風險理論則是精算數學中最具有理論性的組成部分。最初的風險理論主要是研究保險公司所關心的幾個精算量，例如破產概率、破產時、破產前余額、破產赤字等.在過去的幾十年里，在研究上述幾個精算量方面取得了豐碩的成果。然而，這些精算量僅僅代表了公司所面臨的風險，隨著金融保險市場的蓬勃發(fā)展，相對于風險來說，保險公司越來越關心它們的收益，其中最具有代表性的收益是公司破產之前總的分紅量。所謂的分紅是指將

2、公司部分收益(盈余)分配給股東或初始準備金的提供者.可以看到總的分紅量的大小代表著公司的效益，同時也象征了它的競爭力。因此，相對于破產概率來說，保險公司會更關心它們的分紅量。很自然，這時公司就會面臨著一個問題，既如何選擇最優(yōu)的分紅策略使得破產前總的折現分紅量達到最大。鑒于這種實際的需求，最優(yōu)分紅問題已經成為風險理論中研究的最熱點問題。
　　 最優(yōu)分紅問題的研究已具有很長的歷史，最初是由Finetti在1957年第十五屆國際精算會

3、議上提出的。當時，Finetti研究了一類簡單的離散時間的隨機游動，證明了最優(yōu)的分紅策略是存在的，并且可以表示成一種上界為常數的邊界策略.隨后，在Finetti的結果基礎之上，許多文獻研究了更一般的離散時間的隨機模型，證明了所謂的帶狀策略是最優(yōu)的分紅策略形式。對于連續(xù)時間的風險模型，一直到1969年才由Gerber首次研究最優(yōu)分紅問題。Gerber考慮的是古典復合泊松風險模型，證明了最優(yōu)的分紅策略形式是一種帶狀策略；特別地，當索賠大小服

4、從指數分布的時候，這種策略就簡化為邊界策略.在隨后的幾十年內，由于數學工具的缺乏，最優(yōu)分紅問題的研究沒有更實質性的進展。直到二十世紀九十年代，精算學家開始把隨機控制理論應用到風險問題中，從而使分紅問題的研究得到了突破性進展.其中，具有代表性的文獻為Assumsen and Tlaksat(1997)。其作者通過HJB方程的方法得到了帶漂移的布朗運動模型下的最優(yōu)分紅策略：當對分紅率沒有限制的時候，最優(yōu)的分紅策略形式為邊界策略；當分紅率有常

5、數上界的時候，最優(yōu)的分紅策略形式為臨界策略。在此之后，許多文獻相繼利用隨機控制理論來研究最優(yōu)分紅問題，例如，Azcue and Muler(2005)，Gerber and Shiu(2006b)，Schmidli(2006，2008)和Albrecher andThonhauser(2008)。其中，Azcue ancl Muler在古典風險模型中同時考慮最優(yōu)分紅和最優(yōu)再保險問題，利用HJB方程粘性解的理論證明了最優(yōu)的分紅策略形式是帶

6、狀策略。Gerber and Shiu研究了古典風險模型中分紅率有限制的情況，證明了對于服從指數分布的索賠，最優(yōu)的分紅策略為臨界策略。而Schmidli則采用了HJB方程非粘性解的方法，重新討論了古典風險模型中的最優(yōu)分紅問題，分別研究了分紅率有限制和沒有限制兩種情況下的最優(yōu)策略，得到了更一般更全面的結果。Albrecher and Thonhauser利用HJB方程粘性解的理論研究了古典帶常利率風險模型中的最優(yōu)分紅策略，證明了對于一般的

7、索賠分布，最優(yōu)的分紅策略形式為帶狀策略；對于指數分布索賠，最優(yōu)分紅策略的形式則簡化為邊界策略.另外，也有一些文獻利用隨機過程理論和隨機控制理論相結合的方法研究邊界策略是最優(yōu)的分紅策略的條件，例如，Avram et al.(2007)和Loeffen(2008)。他們研究的模型為普負的Levy過程，利用該過程的波動理論，他們給出了最優(yōu)的分紅策略形式為邊界策略的充分條件。
　　 關于最優(yōu)分紅問題的研究已經有半個多世紀了，但僅僅對于帶

8、漂移的布朗運動風險模型研究的比較完善。對于其它風險模型，尤其是帶跳的風險模型，仍然有許多重要的問題等待我們去解決。在過去的幾十年里，人們喜歡用帶漂移的布朗運動和古典復合泊松過程去刻畫公司的盈余過程，這兩類風險模型都具有平穩(wěn)獨立增量性的特點，因此很多問題容易解決.但最近十幾年，隨著金融事業(yè)的蓬勃發(fā)展，保險與金融的結合已經成為必然的趨勢，因此對保險公司來說，只考慮上述兩類風險模型是不切實際的。為了使模型更貼近于實際情況，我們可以把模型進行推

9、廣。因此，在本論文中，我們研究常利率風險模型。這類風險模型也是風險理論中一類重要的模型，如果將公司的盈余投資到無風險資產，例如儲蓄或者債券，用常利率風險模型來刻畫投資后的盈余過程是比較合理的。
　　 基于上述理論和研究背景，我的博士學位論文主要致力于以下幾個方面的研究：古典帶常利率風險模型的最優(yōu)分紅問題、相應的擴散近似風險模型的最優(yōu)分紅問題以及帶有資金注入的常利率風險模型的最優(yōu)分紅問題。本篇論文的結構和內容安排如下：
　　

10、 第一章，主要介紹最優(yōu)分紅的準則、研究的背景以及論文的主要內容，同時介紹在本論文中起到關鍵作用的函數-合流超幾何函數以及他們的主要性質。
　　 第二章，討論古典帶常利率風險模型中分紅率沒有限制的情況下邊界策略的最優(yōu)性。首先，利用過程的強馬爾科夫性，得到了所有邊界策略下分紅價值函數的表達式。其次，討論了在所有的邊界策略中最優(yōu)的邊界策略。再次，利用HJB方程的方法討論了該最優(yōu)的邊界策略在所有可行策略中的最優(yōu)性，給出了最優(yōu)分紅策略形

11、式為該邊界策略的條件。最后，利用所得到的結論，證明了在索賠大小服從指數分布的情況下，所找到的最優(yōu)的邊界策略的確在所有可行策略中是最優(yōu)的。另外，在本章最后一節(jié)，我們還討論了在沒有折現的情況下，破產前總分紅的分布：為一個在零點的退化分布和一個指數分布的混合分布。
　　 第三章，研究古典帶常利率風險模型中分紅率有限制的情況下最優(yōu)的分紅策略。首先，我們假定分紅是按照某動力分紅率支出的，該分紅率被一個正常數所控制。利用隨機控制理論中的動態(tài)

12、規(guī)劃原理，我們推導出了最大分紅價值函數所滿足的HJB方程。其次，利用HJB方程和此價值函數的性質，我們構造了一種可行的分紅策略。然后，利用最優(yōu)性驗證定理，我們證明了所構造的策略在所有的可行策略中是最優(yōu)的。該最優(yōu)的分紅策略形式為：把區(qū)間[0，∞)分成兩個集合A和B，當盈余過程處在集合A的時候，沒有分紅支出，即分紅率為零；當盈余過程處在集合B的時候，分紅以最大分紅率連續(xù)支出。另外，我們還考慮了索賠大小服從指數分布的情況，對于這類特殊分布，最

13、優(yōu)的分紅策略形式簡化為一個臨界策略。最后，我們討論了在臨界策略下，破產時的拉普拉斯變換，在指數索賠的情況下得到了明確的表達式。
　　 第四章，研究古典帶常利率風險模型的一個擴散近似風險模型-帶常利率的漂移布朗運動風險模型。對于該風險模型，當對分紅沒有限制的時候，結合Caiet al.(2006)和Shreve et al.(1984)兩篇文章的結果，可以證明在所有的可行策略中最優(yōu)的分紅策略為一個邊界策略.在本章中我們將討論分紅有

14、限制的情況。我們假定分紅率不會超過一個固定的正常數.首先，我們只考慮臨界分紅策略。利用概率的方法，得到了臨界策略下分紅價值函數的表達式。然后，在所有的臨界策略中我們找到了最優(yōu)的臨界水平。最后，利用HJB方程的方法，我們證明了最優(yōu)的臨界策略的確在所有的可行策略中是最優(yōu)的。另外，在本章最后一節(jié)我們還討論了在臨界策略下，破產時的拉普拉斯變換，得到了明確的表達式。
　　 第五章，我們研究帶有分紅支出和資金注入的古典帶常利率風險模型。我們

15、假定保險公司是不允許破產的，股東或分紅受益人應當通過資金注入的方法使得公司的資產保持非負。對于這個模型，我們試圖找到一種可行的策略使得折現分紅和處罰折現注入資金的差的期望最大.利用隨機控制理論，我們首先推導出最大價值函數所滿足的HJB方程.然后，通過HJB方程和此價值函數的凹性我們找到了最優(yōu)的分紅支出和資金注入策略。此最優(yōu)策略為：當分紅率被某一個正常數所控制的時候，最優(yōu)的分紅策略為一個臨界策略；當對分紅率沒有限制的時候，最優(yōu)的分紅策略為