關(guān)于有限p-群的幾個未解決問題.pdf

1、有限p-群是抽象有限群最基本和最重要的分支之一．隨著著名的有限單群分類的完成，有限P-群的研究變得越來越活躍．許多群論學(xué)家投入到有限p-群研究中，如Gla1uberman，Y．Berkovich，Z．Janko等.
　　 “給定階的有限群的同構(gòu)分類是有限群研究的主要問題之一，然而給出給定階的一般有限P-群的完全同構(gòu)分類在目前看來似乎是不可實(shí)現(xiàn)的，更具可行性的是分類滿足一定性質(zhì)的有限p-群的同構(gòu)分類”([40])．在這些方面，群論

2、學(xué)家們做了大量工作，比如N．Blackburn([9])對內(nèi)亞循環(huán)p-群的分類；Redei([44])對內(nèi)交換P-群的分類；Z．Jank0([31])對只有三個對合的有限2-群的刻畫；Y.Berkovich([4])對導(dǎo)群的階為p的有限p-群的分類；徐明曜等([69])對非交換子群都2元生成的有限p-群的分類；張勤海等([75])對非交換子群都亞循環(huán)的有限p-群的分類等等．
　　 本論文分別從p-群的導(dǎo)群，非正規(guī)子群的正規(guī)化子，

3、非中心元素的中心化子和p-群的Frattini子群出發(fā)來研究有限p-群，在一些特殊條件下，我們給出了p-群的分類，解決了著名群論學(xué)家Y．Berkovich提出的四個公開問題．
　　 本論文共分五章，主要有以下內(nèi)容：
　　 第一章介紹本論文要用到的符號，基本概念，以及一些常用結(jié)論和重要引理等．
　　 第二章研究真子群的導(dǎo)群的階較小的有限p-群的結(jié)構(gòu)．導(dǎo)群是群交換性的一個反映，一個群是交換群當(dāng)且僅當(dāng)它的導(dǎo)群是單位元群

4、．1947年，L．Redei在文獻(xiàn)[44]給出了內(nèi)交換p-群的分類，由此容易得到有限p-群G是內(nèi)交換群當(dāng)且僅當(dāng)G為2元生成且導(dǎo)群的階為p；2000年，Y.Berkovich在文獻(xiàn)[4]中去掉2元生成的條件，給出了導(dǎo)群的階是p的有限p-群的分類，并且在文獻(xiàn)[3]中提出了真子群的導(dǎo)群的階都小于或等于p的有限p群的分類．本論文在第二章中給出了這種群的結(jié)構(gòu)，回答了Y．Berkovich提出的這個問題．
　　 第三章研究非正規(guī)子群在其正規(guī)

5、化子中的指數(shù)都較小的有限p-群的結(jié)構(gòu)，有限群的一個經(jīng)典結(jié)果是：有限群G是冪零群當(dāng)且僅當(dāng)G沒有自正規(guī)化的真子群，也就是說G的任意真子群都嚴(yán)格小于它在G中的正規(guī)化子，而p-群是特殊的冪零群，從而對于p-群而言，p-群G的任意真子群在其正規(guī)化子中的指數(shù)都大于或等于p．本論文第三章給出了非正規(guī)子群在其正規(guī)化子中的指數(shù)恰都等于p的有限p-群的分類，回答了Y．Berkovich在文獻(xiàn)[6]中提出的一個問題．
　　 第四章研究非中心元所生成的

6、循環(huán)子群在其中心化子中的指數(shù)都較小的有限p-群，非中心元的中心化子的大小對有限群的結(jié)構(gòu)有很大影響，用非中心元的中心化子來研究有限群的結(jié)構(gòu)是許多群論工作者所感興趣的問題之一．我們注意到與一個元素可交換的元素的多少取決于該元素所生成的循環(huán)子群在其中心化子中的指數(shù)，但是很少有人考慮和研究非中心元所生成的循環(huán)子群在其中心化子中的指數(shù)與群的結(jié)構(gòu)的關(guān)系問題．在第四章中，我們給出了非中心元所生成的循環(huán)群在其中心化子中的指數(shù)都小于或等于p2的有限p-群

7、的結(jié)構(gòu)，從而回答了Y．Berkovich在文獻(xiàn)[3]中提出的一個問題．
　　 第五章研究真子群的Frattini子群都循環(huán)的有限p-群．Frattini子群是有限p-群一個非常重要的特征子群．2000年，Y．Berkovich在文獻(xiàn)[4]中給出了Frattini子群循環(huán)的有限p-群的分類，并且在文獻(xiàn)[3]中提出了分類真子群的Frattini子群都循環(huán)的有限p-群的問題．在第五章中，給出了這種群的分類，回答了Y．Berkovich