關(guān)于有限p-群的幾個(gè)未解決問(wèn)題.pdf

1、有限p-群是抽象有限群最基本和最重要的分支之一．隨著著名的有限單群分類(lèi)的完成，有限P-群的研究變得越來(lái)越活躍．許多群論學(xué)家投入到有限p-群研究中，如Gla1uberman，Y．Berkovich，Z．Janko等.
　　 “給定階的有限群的同構(gòu)分類(lèi)是有限群研究的主要問(wèn)題之一，然而給出給定階的一般有限P-群的完全同構(gòu)分類(lèi)在目前看來(lái)似乎是不可實(shí)現(xiàn)的，更具可行性的是分類(lèi)滿(mǎn)足一定性質(zhì)的有限p-群的同構(gòu)分類(lèi)”([40])．在這些方面，群論

2、學(xué)家們做了大量工作，比如N．Blackburn([9])對(duì)內(nèi)亞循環(huán)p-群的分類(lèi)；Redei([44])對(duì)內(nèi)交換P-群的分類(lèi)；Z．Jank0([31])對(duì)只有三個(gè)對(duì)合的有限2-群的刻畫(huà)；Y.Berkovich([4])對(duì)導(dǎo)群的階為p的有限p-群的分類(lèi)；徐明曜等([69])對(duì)非交換子群都2元生成的有限p-群的分類(lèi)；張勤海等([75])對(duì)非交換子群都亞循環(huán)的有限p-群的分類(lèi)等等．
　　 本論文分別從p-群的導(dǎo)群，非正規(guī)子群的正規(guī)化子，

3、非中心元素的中心化子和p-群的Frattini子群出發(fā)來(lái)研究有限p-群，在一些特殊條件下，我們給出了p-群的分類(lèi)，解決了著名群論學(xué)家Y．Berkovich提出的四個(gè)公開(kāi)問(wèn)題．
　　 本論文共分五章，主要有以下內(nèi)容：
　　 第一章介紹本論文要用到的符號(hào)，基本概念，以及一些常用結(jié)論和重要引理等．
　　 第二章研究真子群的導(dǎo)群的階較小的有限p-群的結(jié)構(gòu)．導(dǎo)群是群交換性的一個(gè)反映，一個(gè)群是交換群當(dāng)且僅當(dāng)它的導(dǎo)群是單位元群

4、．1947年，L．Redei在文獻(xiàn)[44]給出了內(nèi)交換p-群的分類(lèi)，由此容易得到有限p-群G是內(nèi)交換群當(dāng)且僅當(dāng)G為2元生成且導(dǎo)群的階為p；2000年，Y.Berkovich在文獻(xiàn)[4]中去掉2元生成的條件，給出了導(dǎo)群的階是p的有限p-群的分類(lèi)，并且在文獻(xiàn)[3]中提出了真子群的導(dǎo)群的階都小于或等于p的有限p群的分類(lèi)．本論文在第二章中給出了這種群的結(jié)構(gòu)，回答了Y．Berkovich提出的這個(gè)問(wèn)題．
　　 第三章研究非正規(guī)子群在其正規(guī)

5、化子中的指數(shù)都較小的有限p-群的結(jié)構(gòu)，有限群的一個(gè)經(jīng)典結(jié)果是：有限群G是冪零群當(dāng)且僅當(dāng)G沒(méi)有自正規(guī)化的真子群，也就是說(shuō)G的任意真子群都嚴(yán)格小于它在G中的正規(guī)化子，而p-群是特殊的冪零群，從而對(duì)于p-群而言，p-群G的任意真子群在其正規(guī)化子中的指數(shù)都大于或等于p．本論文第三章給出了非正規(guī)子群在其正規(guī)化子中的指數(shù)恰都等于p的有限p-群的分類(lèi)，回答了Y．Berkovich在文獻(xiàn)[6]中提出的一個(gè)問(wèn)題．
　　 第四章研究非中心元所生成的

6、循環(huán)子群在其中心化子中的指數(shù)都較小的有限p-群，非中心元的中心化子的大小對(duì)有限群的結(jié)構(gòu)有很大影響，用非中心元的中心化子來(lái)研究有限群的結(jié)構(gòu)是許多群論工作者所感興趣的問(wèn)題之一．我們注意到與一個(gè)元素可交換的元素的多少取決于該元素所生成的循環(huán)子群在其中心化子中的指數(shù)，但是很少有人考慮和研究非中心元所生成的循環(huán)子群在其中心化子中的指數(shù)與群的結(jié)構(gòu)的關(guān)系問(wèn)題．在第四章中，我們給出了非中心元所生成的循環(huán)群在其中心化子中的指數(shù)都小于或等于p2的有限p-群

7、的結(jié)構(gòu)，從而回答了Y．Berkovich在文獻(xiàn)[3]中提出的一個(gè)問(wèn)題．
　　 第五章研究真子群的Frattini子群都循環(huán)的有限p-群．Frattini子群是有限p-群一個(gè)非常重要的特征子群．2000年，Y．Berkovich在文獻(xiàn)[4]中給出了Frattini子群循環(huán)的有限p-群的分類(lèi)，并且在文獻(xiàn)[3]中提出了分類(lèi)真子群的Frattini子群都循環(huán)的有限p-群的問(wèn)題．在第五章中，給出了這種群的分類(lèi)，回答了Y．Berkovich