p-群群環(huán)的增廣理想及增廣商群的結(jié)構(gòu).pdf

1、令G是有限群,整群環(huán)ZG的n(n是正整數(shù))次增廣理想△n(G)=(△(G))n是秩為|G|-1的自由阿貝爾群,n次增廣商群定義為Qn(G)=△n(G)/△n+1(G).對(duì)一般的群G和任意的正整數(shù)n,ZG的n次增廣商群的結(jié)構(gòu)并沒(méi)有一個(gè)一般的結(jié)果。但如果G是有c個(gè)冪零類(lèi)的有限冪零群,則存在最小的正整數(shù)n0和π(π整除l.c.m.{1,2,···, c}),使得對(duì)所有的n≥n0有Qn(G)≌Qn+π(G),且序列Qn0(G), Qn0+1(G

2、),···, Qn0+π-1(G)被稱(chēng)為Qn(G)的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。本文主要研究了p5(p是奇素?cái)?shù))階群的整群環(huán)之增廣商群的穩(wěn)定結(jié)構(gòu),以及p-群群環(huán)的clean性。主要工作如下:
　　階為p5(p是奇素?cái)?shù))的群共有64種互不同構(gòu)的同構(gòu)類(lèi),每種同構(gòu)類(lèi)的生成元個(gè)數(shù)小于等于5.本文按其生成元的個(gè)數(shù)是偶數(shù)或奇數(shù),把這些同構(gòu)類(lèi)群分成兩組。首先確定有偶數(shù)個(gè)生成元的p5階群G的增廣商群的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。對(duì)于有4個(gè)生成元的群,通過(guò)尋找n次增廣理想△n(G)的

3、一組Z-基及最小正整數(shù)n0,應(yīng)用傳統(tǒng)方法經(jīng)過(guò)仔細(xì)運(yùn)算確定出當(dāng)n≥n0時(shí)其增廣商群Qn(G)的結(jié)構(gòu),即Qn(G)的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。對(duì)于某些有2個(gè)生成元的群,由于不能找到△n(G)的一組Z基,則借助于Qn(G)的長(zhǎng)度以及Qn(G)的直和分解完成對(duì)其增廣商群Qn(G)的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的刻畫(huà)。
　　其次確定有奇數(shù)個(gè)生成元的p5階群G的增廣商群的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。對(duì)循環(huán)群和初等阿貝爾p-群,前人已經(jīng)給出了其增廣商群的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。對(duì)于有3個(gè)生成元的群,某些群運(yùn)用對(duì)

4、有4個(gè)生成元的群的討論方法來(lái)確定Qn(G)的穩(wěn)定結(jié)構(gòu),但在證明△n(G)的Z-基時(shí)略有不同;另外一些群可運(yùn)用對(duì)有2個(gè)生成元的群的討論方法完成對(duì)其增廣商群Qn(G)的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的刻畫(huà)。對(duì)于有5個(gè)生成元的群,或者找到△n(G)的Z-基或者利用Np-序列確定其增廣商群Qn(G)的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。
　　最后考慮p-群群環(huán)的clean性。通過(guò)研究滿(mǎn)足條件△(G)包含于J(RG)的p-群群環(huán),給出交換環(huán)上阿貝爾p-群群環(huán)是clean的充分必要條件,同