Hilbert數(shù)的下界估計(jì).pdf

1、David Hilbert在1900年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的開(kāi)幕式上提出了23個(gè)公開(kāi)問(wèn)題，其中第16個(gè)是關(guān)于代數(shù)曲線的分類(lèi)和常微分方程定性理論的一個(gè)非常重要但又非常困難的問(wèn)題．可以說(shuō)在上個(gè)世紀(jì)有很大一部分定性理論方面的工作直接或間接與此問(wèn)題相關(guān)，例如在綜述性文獻(xiàn)[Bull．Amer．Math．Soc．(New Series)，2002，39(3)：301—354]中羅列了160多篇相關(guān)參考文獻(xiàn)；在專(zhuān)著[葉彥謙，多項(xiàng)式微分系統(tǒng)定性理論，上?？茖W(xué)

2、技術(shù)出版社，上海， 1993]中羅列了600多篇文獻(xiàn)。在1995年該問(wèn)題又作為Stephen Smale關(guān)于21世紀(jì)18個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題[Math．Intelli．，1998，20(2)：7-15]的第13問(wèn)題而提出。 在緒論中，我們討論了多項(xiàng)式系統(tǒng)的極限環(huán)以及高階細(xì)焦點(diǎn)系統(tǒng)的研究進(jìn)展。事實(shí)上研究這些問(wèn)題的方法很多，本章中我們主要介紹了向量場(chǎng)的分岔和后繼函數(shù)方法以及這些方法的研究進(jìn)展。 為了全面了解Hilbert第16問(wèn)題工作

3、的進(jìn)展，本文第二章將作一個(gè)綜述，內(nèi)容涉及到人們對(duì)Hilbert第16問(wèn)題細(xì)分的三個(gè)層面：?jiǎn)蝹€(gè)有限性問(wèn)題、存在性Hilbert問(wèn)題和構(gòu)造性Hilbert問(wèn)題。 在第三章我們研究了Hilbert第16問(wèn)題的第三個(gè)層面，具體地說(shuō)是對(duì)任意奇數(shù)次系統(tǒng)構(gòu)造性地給出Hilbert，數(shù)H(n)地更好的下界，其中H(n)代表n次多項(xiàng)式系統(tǒng)最大的極限環(huán)個(gè)數(shù)。白敬新、劉一戎對(duì)偶數(shù)n證明了H(n)≥n<'2>-n，對(duì)奇數(shù)n尚無(wú)結(jié)果。 從白敬新、

4、劉一戎的方法可以知道，Hilbert數(shù)的下界與所構(gòu)造系統(tǒng)的小參數(shù)個(gè)數(shù)直接相關(guān)。在本文第四章我們構(gòu)造了含有更多小參數(shù)的特殊系統(tǒng)使得各個(gè)焦點(diǎn)量之間具有更好的隱含遞推關(guān)系，在轉(zhuǎn)化焦點(diǎn)量計(jì)算的基礎(chǔ)上充分利用這些遞推關(guān)系得到更高階數(shù)的細(xì)焦點(diǎn)系統(tǒng)，從而對(duì)偶數(shù)n得到更高的下界H(n)≥n<'2>-1。這個(gè)結(jié)果不僅改進(jìn)了前人的結(jié)果，而且當(dāng)n=2時(shí)還表明系統(tǒng)有3個(gè)極限環(huán)，這正是Bautin在1954年對(duì)二次系統(tǒng)得到的、至今仍是圍繞單個(gè)奇點(diǎn)極限環(huán)的最高個(gè)數(shù)