幾類高階非線性拋物方程解的存在性與漸近性.pdf

1、本文主要研究幾類高階非線性拋物方程(組)解的存在性和長(zhǎng)時(shí)間漸近行為.本質(zhì)性困難是作為通常工具所使用的二階拋物方程的最大值原理和比較原理在高階情形不再有效.所討論的問(wèn)題包括廣義薄膜方程解的長(zhǎng)時(shí)間性態(tài)，具有梯度項(xiàng)主部的非線性四階拋物方程解的存在性和長(zhǎng)時(shí)間漸近極限，以及粘性量子流體動(dòng)力學(xué)模型解、粘性流體動(dòng)力學(xué)模型解的指數(shù)衰減性，首先考慮一個(gè)具有零邊界流的非線性四階拋物方程—廣義薄膜方程.利用熵泛函的方法證明了解在時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)趨近于對(duì)應(yīng)的定

2、態(tài)問(wèn)題解的結(jié)論，并討論了帶二階擴(kuò)散項(xiàng)的薄膜方程解的存在性和正性.然后關(guān)注一類具三階退化項(xiàng)的四階拋物方程解的存在性與漸近極限.最后研究粘性雙極量子流體動(dòng)力學(xué)模型，粘性項(xiàng)對(duì)能量耗散速率的影響是：耗散隨粘性增大而增大。 第1章概述本文所研究問(wèn)題的物理背景和國(guó)內(nèi)外發(fā)展?fàn)顩r，并簡(jiǎn)要介紹本文的主要工作。 第2章首先關(guān)注一類四階拋物型方程：ut=-▽·(un▽△u+αun-1△u▽u+βun-2|▽u|2▽u)解的長(zhǎng)時(shí)間行為.此方程可

3、以理解為薄膜方程ut+(unuxxx)x=0的推廣.方程由潤(rùn)滑近似法推導(dǎo)而來(lái)，描述粘性薄膜的演化及蔓延傳播情況，函數(shù)u表示薄膜的高度.對(duì)于Neumann初邊值問(wèn)題，我們分別得到一維問(wèn)題解在L∞范數(shù)意義下以代數(shù)速率衰減到其初值的均值，高維問(wèn)題解在L1范數(shù)意義下以指數(shù)衰減速率收斂到其初值的均值.主要技術(shù)思想是構(gòu)造相應(yīng)的熵泛函，對(duì)熵進(jìn)行兩方面的運(yùn)算，一是建立熵泛函微分的(與熵有關(guān)的)負(fù)上界，二是證明熵泛函具有Lp范數(shù)的下界(0

4、獲得L范數(shù)意義下的長(zhǎng)時(shí)間衰減結(jié)果.其次，我們研究一類帶二階擴(kuò)散項(xiàng)的薄膜方程ut+(unuxxx)x-(um)xx=0的非負(fù)解.當(dāng)m>n時(shí)，得到弱意義下解的存在性，以及參數(shù)n的值對(duì)解的正性的影響.最后證明，問(wèn)題的古典解在t→∞時(shí)，以指數(shù)速率收斂于其初值的均值。 第3章致力于一類非線性四階拋物方程ut+▽·(|▽△u|p-2▽△u)=f(u)第一初邊值問(wèn)題解的存在性和漸近極限的研究.通過(guò)不動(dòng)點(diǎn)理論結(jié)合半離散方法，分別得到定態(tài)情形和發(fā)

5、展方程解的存在性.與一般以往文章方法不同之處是：我們構(gòu)造兩類不同的逼近解，分別處理關(guān)于時(shí)間變量和空間變量的一致估計(jì)，再由必要的先驗(yàn)估計(jì)和緊性討論進(jìn)一步證明這兩類逼近解收斂于同一個(gè)函數(shù).也就是所求問(wèn)題的解.另外，利用熵泛函方法還得到解在時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，收斂于其一個(gè)常定態(tài)解的結(jié)論.最后，我們指出當(dāng)參數(shù)p→∞時(shí)，解u恰好趨于初值函數(shù)u0。 第4章考慮粘性量子流體動(dòng)力學(xué)模型解的長(zhǎng)時(shí)間行為.共振穿隧等量子效應(yīng)可由微觀模型表示，例如Wig