反應(yīng)擴(kuò)散方程組的漸近行為及其隨機(jī)擾動.pdf

1、反應(yīng)擴(kuò)散模型已經(jīng)普遍應(yīng)用在化學(xué)反應(yīng),細(xì)胞演化過程,藥物釋放,生態(tài)發(fā)展,疾病傳播,污染物質(zhì)在環(huán)境中的傳輸?shù)缺姸囝I(lǐng)域,不僅為這些領(lǐng)域的科學(xué)發(fā)展提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具,而且推動了偏微分方程理論本身的巨大進(jìn)步.本博士學(xué)位論文以具有實際背景的反應(yīng)擴(kuò)散方程組為基本研究對象,從多個方面來刻畫反應(yīng)擴(kuò)散方程組的漸近性質(zhì)及其隨機(jī)擾動特性.論文主要包括以下幾個方面的工作.
　　在第一章中,我們簡要介紹了反應(yīng)擴(kuò)散方程組的實際背景,數(shù)學(xué)模型和研究現(xiàn)狀.

2、r>　　在第二章中,我們討論一類競爭擴(kuò)散方程組連接一個非共存狀態(tài)和共存狀態(tài)之間的單調(diào)行波解的穩(wěn)定性.分別基于弱競爭條件和強(qiáng)競爭條件下反應(yīng)擴(kuò)散方程組常數(shù)定常解的局部線性穩(wěn)定性特性,我們改變文獻(xiàn)中使用二階線性方程組的格林函數(shù)來描述線性化算子的辦法,直接利用具有四個變量的一階線性方程組建立一種新的方法來構(gòu)造線性化算子的預(yù)解算子的漸近表示,然后利用解的對應(yīng)導(dǎo)數(shù)分量的漸近表示來刻畫線性化算子在加權(quán)函數(shù)空間Bw,k(R,R2)中的譜分布,最后得到反

3、應(yīng)擴(kuò)散方程組單調(diào)行波解的穩(wěn)定性.
　　在第三章中,我們考慮一類具有Holling-Tanner型反應(yīng)函數(shù)的交叉擴(kuò)散捕食-食餌方程組.將現(xiàn)有文獻(xiàn)中部分交叉擴(kuò)散系數(shù)情形d3=0,d4>0推廣到完全交叉擴(kuò)散情形d3>0,d4>0.利用極大值原理,先驗估計和拓?fù)涠壤碚摰冉?jīng)典方法,在齊次Neumann邊界條件下,我們給出了對應(yīng)定常交叉擴(kuò)散捕食-食餌方程組的常數(shù)和非常數(shù)正解存在的充分條件.
　　在第四章中,我們討論了一類分?jǐn)?shù)階反應(yīng)擴(kuò)散方

4、程組正溫和解的爆破性.分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子所具有的非局部特征使得分?jǐn)?shù)反應(yīng)擴(kuò)散方程已經(jīng)大量應(yīng)用于分子生物學(xué),流體動力學(xué),統(tǒng)計物理,經(jīng)濟(jì)金融等領(lǐng)域.不同于Pe′rez和Villa等人的方法,我們的重點在于發(fā)掘定義于全空間RN上的分?jǐn)?shù)階熱算子基本解的性質(zhì),充分利用H.Yosida所建立的基本解的分析性質(zhì)和L.Caffarelli及A.Figalli給出的基本解的相關(guān)估計,我們首先建立初值問題正溫和解的下界估計,然后證明解在大時間時的無界性,最后

5、得到正溫和解在有限時刻爆破的充分條件.
　　在第五章中,我們研究了反應(yīng)擴(kuò)散波的零均值白噪聲擾動行為.對經(jīng)典Nagumo方程連接兩個穩(wěn)定定常狀態(tài)的波前解,利用定義于整個實數(shù)軸上的熱核,我們分析了在兩個漸近邊界處零均值白噪聲的隨機(jī)擾動行為.由于零均值白噪聲的擾動,當(dāng)t→+∞時,Nagumo方程ut=uxx+u(u-a)(1-u)的波前解在上穩(wěn)定定常狀態(tài)處擾動均值是減少的,而在下穩(wěn)定定常狀態(tài)處擾動均值是增加的.
　　在第六章中,我