關(guān)于Euler-Poisson方程組和Euler方程組的漸近性研究.pdf

1、本文概述了半導(dǎo)體器件模型的分類及近期發(fā)展，重點(diǎn)探討了半導(dǎo)體模型中的Euler-Poisson方程組(也稱經(jīng)典的流體動(dòng)力學(xué)模型)和一類帶阻尼項(xiàng)的可壓型Euler方程組在平衡態(tài)附近的擾動(dòng)問(wèn)題?；贚ittlewood-Paley分解和仿微分演算的技術(shù)，我們降低了初值所在空間的正則性，進(jìn)而改進(jìn)了在Sobolev空間中已有的一些結(jié)果。在Besov空間的框架下，相應(yīng)地，我們建立了經(jīng)典解的整體存在性，唯一性和穩(wěn)定性，并進(jìn)一步考察了流體旋度隨時(shí)間的發(fā)

2、展情況。在此適定性結(jié)果的基礎(chǔ)上，相關(guān)的馳豫極限問(wèn)題也被考慮。 略微具體地說(shuō)，我們研究了三個(gè)問(wèn)題，分別將其放入本文的第三章，第四章以及第五章。 在第三章中，作為研究的出發(fā)點(diǎn)，我們首先考慮了半導(dǎo)體模型中的高維簡(jiǎn)化(等熵或等熱情形)Euler-Poisson方程組(1.2.2)的柯西問(wèn)題，當(dāng)初值在平衡態(tài)附近擾動(dòng)時(shí)，建立了該問(wèn)題經(jīng)典解的整體存在性，唯一性和指數(shù)穩(wěn)定性。過(guò)去十年里，在光滑解的適定性以及穩(wěn)定性方面，許多學(xué)者關(guān)于Eul

3、er-Poisson方程組的柯西問(wèn)題和初邊值問(wèn)題分別在一維空間或高維空間中已做了不少的結(jié)果，這些結(jié)果基本上是在Sobolev空間H<'e>(R<'d>)的框架下得到的。由于人們借助于經(jīng)典分析方法的緣故，導(dǎo)致空間的正則性要求相當(dāng)高(e>1+d/2，e∈Z)。在本章中，我們將研究指標(biāo)的極限情形e=1+d/2。在這種情形下，關(guān)于Kato的經(jīng)典局部存在性理論就不適用了，我們所選取的工作空間是一類Besov空間B<'1+d/2><,2,1>(R<

4、'd>)，而不再是H<'1+d/2>(R<'d>)。第一步，利用正則化手段和緊性方法，我們證明了該方程組的柯西問(wèn)題在一般初值下經(jīng)典解的局部存在性和唯一性。盡管主要的思路是將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)對(duì)稱雙曲系統(tǒng)來(lái)處理，但一些來(lái)于Poisson方程的具體內(nèi)容仍需要考慮。在經(jīng)典解的局部存在性基礎(chǔ)上，第二步，當(dāng)初值在平衡態(tài)附近擾動(dòng)時(shí)，我們證得了經(jīng)典解的整體存在性和指數(shù)衰減性。所用的證明方法是高低頻分解方法。在證明中，我們獲悉了馳豫項(xiàng)僅對(duì)解的整體存在性起

5、作用；同時(shí)也理解了Poisson方程在低頻估計(jì)過(guò)程中所起的關(guān)鍵作用，此作用導(dǎo)致了經(jīng)典解的指數(shù)衰減性。這里，我們沒(méi)有對(duì)方程組解假設(shè)任何幾何結(jié)構(gòu)，進(jìn)而，在整體解的基礎(chǔ)上，在Besov空間中我們刻畫(huà)了旋度隨時(shí)間發(fā)展呈指數(shù)性衰減。 依照類似的過(guò)程，我們把結(jié)果推廣到完整的流體動(dòng)力學(xué)模型(1.2.1)零熱傳導(dǎo)情形。除了更加繁瑣的計(jì)算外，在譜局部化過(guò)程中，一些新的困難會(huì)出現(xiàn)。幸運(yùn)的是，我們發(fā)掘了隱藏在質(zhì)量守恒方程以及能量守恒方程中的信息，最終

6、幫助我們克服了這些困難。簡(jiǎn)明起見(jiàn)，我們僅陳述相關(guān)的結(jié)果，詳細(xì)的證明見(jiàn)[24]。這些結(jié)果可以認(rèn)為是Hsiao[38]和An[1]等人成果的改進(jìn)。 在第四章中，我們?cè)贐esov空間框架下研究了帶阻尼項(xiàng)的高維可壓型Euler方程組的柯西問(wèn)題。與半導(dǎo)體中的簡(jiǎn)化流體動(dòng)力學(xué)模型相比，方程組少了關(guān)于靜電勢(shì)耦合的Poisson方程。在本章中，我們?nèi)匀豢紤]系統(tǒng)在平衡態(tài)附近的擾動(dòng)問(wèn)題?；诘谌戮植看嬖谛远ɡ淼淖C明，類似地，我們可獲得帶阻尼項(xiàng)的可壓

7、型Euler方程組的柯西問(wèn)題經(jīng)典解的局部存在性和唯一性，此時(shí)空間維數(shù)可包含一維情形。因低頻估計(jì)的差異，為了確保經(jīng)典解的整體存在性，我們需要選取比B<'1+d/2><,2,1>(R<'d>)更強(qiáng)的空間B<'1+d/2><,2,2>(R<'d>)(ε>0)。由于技巧上的緣故，我們要限制空間維數(shù)d≥3。作為直接的推論，我們證明了當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，經(jīng)典解在某Besov空間中趨向于平衡態(tài)的漸近行為。最后，同樣也刻畫(huà)了旋度隨時(shí)間發(fā)展的指數(shù)衰減性。這些

8、結(jié)果可以視為Sideris[75]等人成果的改進(jìn)。 在第五章中，我們觀察了方程組解關(guān)于馳豫時(shí)間τ的大時(shí)間尺度變換的一個(gè)有趣現(xiàn)象。對(duì)于半導(dǎo)體模型中的等熱Euler-Poisson方程組，我們進(jìn)一步精細(xì)了第三章中的先驗(yàn)估計(jì)，使得整體存在性定理中的一些常數(shù)不依賴于τ，然后利用弱收斂方法和緊性方法，即得零馳豫時(shí)間極限：以τ作為時(shí)間尺度變換后的經(jīng)典解強(qiáng)收斂到漂移擴(kuò)散模型(5.1.6)的解。作為副產(chǎn)品，我們獲得了高維漂移擴(kuò)散模型弱解的整體存