幾類偏微分方程最優(yōu)控制相關問題研究.pdf

1、本文主要研究幾類偏微分方程最優(yōu)控制相關問題，其內容包括狀態(tài)方程的適定性、最優(yōu)控制的存在性以及最優(yōu)控制滿足的極大值原理。全文共分六章：
　　第一章主要闡述偏微分方程最優(yōu)控制問題的來源和研究對象，并簡要介紹國內外的研究現(xiàn)狀以及本文的主要結果。
　　第二章研究了一類非線性色散淺水波方程的分布最優(yōu)控制問題。首先利用Garlekin逼近方法和能量估計，在合適的狀態(tài)空間中證明了控制系統(tǒng)解的存在唯一性。其次引入所要討論的最優(yōu)控制問題，并且

2、證明每一個給定的初始狀態(tài)都對應著控制系統(tǒng)唯一的最優(yōu)控制。最后借助由A.Ya. Dubovitskii和A.A. Milyutin提出的泛函分析方法成功地推導出最優(yōu)控制成立的一階必要性條件，并指出最優(yōu)控制具有Bang-Bang性質。本章得到的結果推廣和改進了部分已知結果。
　　第三章考慮了具有一個捕食者和兩個被捕食者的生態(tài)模型的最優(yōu)控制理論，其目的在于通過人工干預使得此生態(tài)系統(tǒng)中三個物種的種群密度最大化。給定初始種群密度（均為正），

3、借助強連續(xù)算子半群理論和拋物方程的相關理論，首先證明了控制系統(tǒng)存在唯一的正強解，并且指出對于給定的初始種群密度，人工干預具有最優(yōu)的策略（即控制系統(tǒng)存在唯一的最優(yōu)控制）。然后借助于對偶原理推導出最優(yōu)控制的一階必要性條件和二階充要性條件。本章對相應的最優(yōu)控制問題給出了全面的回答，其結果是新的。
　　第四章處理了一類帶有記憶項的非線性耦合波動方程的最優(yōu)控制問題。首先利用經典的變分原理和緊性原理給出了最優(yōu)控制變量的存在性證明。其次通過對近

4、似最優(yōu)控制變量（懲罰掉了狀態(tài)限制）的極值條件在合理的意義下取極限，推導出了最優(yōu)控制變量所滿足的龐氏極大值原理。作為主要結果的直接應用，同時得到了由非線性Klein-Gordon方程組描述的最優(yōu)控制問題的必要性條件，其結果推廣和改進了文獻[83]中關于Klein-Gordon方程最優(yōu)控制問題的主要結果。
　　第五章討論了帶有逐點狀態(tài)限制的Boussinesq方程組的最優(yōu)控制問題。首先證明了狀態(tài)函數(shù)關于控制函數(shù)的連續(xù)依耐性，然后利用E

5、keland變分原理和改進的針狀變分技術，推導出了最優(yōu)控制滿足的逐點形式的龐氏極大值原理。另外，在某些強穩(wěn)定性條件假設下，進一步得到了一種形式更強的龐氏極大值原理,其特點在于拉格朗日乘子可以取固定的常數(shù)。本章結果推廣和改進了文獻[86]中帶有積分型狀態(tài)限制最優(yōu)控制問題的結論。
　　第六章研究了一類廣義Camassa-Holm方程的局部適定性、強解的爆破性以及解析解的存在性。首先利用Littlewood-Paley分解原理和傳輸方程