回歸系數(shù)的混合估計和最小二乘估計的相對效率.pdf

1、線性模型中參數(shù)估計的相對效率是近年來討論較多的一個問題，在線性模型的參數(shù)估計類中，比較常見的有兩種，一種是參數(shù)的最佳線性無偏估計(BLUE)， 另一種是參數(shù)的最小二乘估計(LSE)． 首先，、我們考察以下兩個線性模型： y=Xβ+e，E(e)=0，Cov(e)=σ<'2>I， (1)y=Xβ+e，E(e)=0，Cov(e)=σ<'2>V． (2)在模型(1.1.1)下可估函數(shù)Cβ的BLU估計就等于LS估計

2、，但是在許多 實(shí)際問題中，經(jīng)過殘差分析后我們不能認(rèn)為對誤差向量的假設(shè)是合適的．它們的 誤差方差可能不相等，也可能彼此相關(guān)，此時協(xié)方差陣為Coy(e)=σ<'2>V，那么此 時真正的模型就是模型(1.1.2)．在此模型中，當(dāng)矩陣X列滿秩時，β是可估的，其最小二乘估計是<β＾>=(X′X)<'-1>X′Y，而BLU估計是β<'*>=(X′V<'-1>X)<'-1>X′V<'-1>Y．但是在一些理論和實(shí)際應(yīng)用問題中，V往往包含一些未知參

3、數(shù)．若記這些未知參數(shù)為θ，對于這種情況，我們需要用θ的某種估計來代替β<'*>中的θ，這就導(dǎo)致了所謂的兩步估計．遺憾的是，目前我們對兩步估計的統(tǒng)計性質(zhì)，特別是小樣本性質(zhì)所知甚少．另一方面，在某些情況下，我們根本無法得到的θ的任何估計．正是由于這些原因，人們往往不得不回過頭來使用最小二乘估計<β＾>，用LS估計替代BLU估計就要蒙受一些損失，有時這種損失可以是很大的，因而研究這種損失的大小顯得尤為重要．鑒于此，人們提出LS估計相對效率的概

4、念． 從不同的準(zhǔn)則出發(fā)，可以定義不同的相對效率．在模型(2)中當(dāng)矩陣X滿秩時，β是可估的，其最小二乘估計為<β＾>=(X′X)<'-1>X′y，其BLU估計為β<'*>=(X′V<'-1>X)<'-1>X′V<'-1>y，<β＾>對β<'*>的一種相對效率定義為二者的廣義方差之比，即易見0≤e<,1>(<β＾>)≤1，e<,1>(<β＾>)愈接近于1，用LS估計替代BLU估計在估計精度上所蒙受的損失就越??；相反e<,1>(<β＾

5、>)愈接近于零，這種替代在估計精度上的損失就越大．但這種定義方式存在一個明顯的缺陷，即e<,1>(<β＾>)對設(shè)計矩陣X的依賴性較弱，為了彌補(bǔ)這種不足，1989年劉愛義、王松桂提出了一種新的相對效率： 黃元亮、陳桂景在1998年引入另一種相對效率：陳孝新在2004年引入了另外一種新的相對效率：之后，許多學(xué)者又對幾種相對效率之間的關(guān)系以及它們的上下界進(jìn)行了研究，得出了相應(yīng)的結(jié)果． 本文主要討論了在具有附加信息的線性回歸模型