最小二乘問題最佳向后誤差的線性化估計(jì).pdf

1、向后誤差是數(shù)值代數(shù)中的一個(gè)基本概念。向后誤差分析的結(jié)果有多方面的應(yīng)用,如:檢測新算法的向后穩(wěn)定性。最小二乘問題近似解的最佳向后誤差估計(jì)是很多學(xué)者關(guān)注的課題。Walden,Karlson和Sun對普通最小二乘問題(OLS)近似解的范數(shù)型最佳向后誤差給出了表達(dá)式。這項(xiàng)工作引出了大量的后繼研究。Higham給出了便于穩(wěn)定計(jì)算的表達(dá)形式。注意到最佳向后誤差表達(dá)式求值花費(fèi)太大,很多學(xué)者轉(zhuǎn)向?qū)ζ溥M(jìn)行估計(jì)。其中包括Walden和Karlson給出的上

2、界和下界估計(jì)。對大型稀疏問題,Malyshev和Sakane建議使用L,anczos雙對角化技術(shù)對最佳向后誤差進(jìn)行估計(jì)。Cox和Higham研究了具線性等式約束最小二乘問題(LSE)及球約束最小二乘問題(LSS),給出了最佳向后誤差的上界及下界。Mayshev研究了LSS,證明了最佳向后誤差要么為Cox和Higham給出的下界,要么為Cox和Higham給出的上界。Chang,Golub和Paige對數(shù)據(jù)最小二乘問題(DLS)給出了最佳

3、向后誤差的下界,并證明了該下界在漸近情形與最佳向后誤差等價(jià)。Chang和Peloquin對尺度化整體最小二乘問題(STLS)給出了最佳向后誤差的下界。
　　 這篇學(xué)位論文采用線性化方法對若干類型的最小二乘問題近似解的最佳向后誤差進(jìn)行估計(jì),包括普通最小二乘問題、約束最小二乘問題及尺度化整體最小二乘問題。對于普通最小二乘問題及尺度化整體最小二乘問題,本文針對Higham和Higham,Chang和Titley—Peloquin給出的

4、線性化估計(jì),證明了若干新的結(jié)果。對于球上最小二乘問題和等式約束最小二乘問題,本文給出了向后誤差的線性化估計(jì),并且與前人給出的向后誤差界做了數(shù)值比較。文中實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,當(dāng)最小二乘問題的近似解靠近精確解時(shí),最小二乘問題最佳向后誤差的線性化估計(jì)是最佳向后誤差的好的近似。
　　 論文由五部分組成:
　　 第一部分是引言。介紹了最小二乘問題近似解的最佳向后誤差估計(jì)的產(chǎn)生背景,研究現(xiàn)狀以及研究此課題的理論意義,給出本文的主要研究問題

5、。
　　 第二部分是關(guān)于普通最小二乘問題近似解的最佳向后誤差的線性化估計(jì)。首先給出了最佳向后誤差的線性化估計(jì)式；然后討論了線性化估計(jì)與最佳向后誤差之間的關(guān)系；最后討論了線性化估計(jì)與Karlson—Walden估計(jì)間的關(guān)系,并且給出了數(shù)值比較的有關(guān)結(jié)果。
　　 第三部分是關(guān)于等式約束最小二乘問題近似解的最佳向后誤差估計(jì)。首先給出了最佳向后誤差的線性化估計(jì)式；其次,考慮到最佳向后誤差的線性化估計(jì)計(jì)算比較困難,對給出的線性化估

6、計(jì)作了進(jìn)一步的近似；再次,討論了線性化估計(jì)與最佳向后誤差之間的關(guān)系,并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)檢測所給出的估計(jì)；最后,對Higham和Cox給出的最佳向后擾動界,給出相應(yīng)的線性化估計(jì)。
　　 第四部分是關(guān)于球上最小二乘問題的向后誤差。首先,給出了最佳向后誤差的線性化估計(jì)；接著討論了線性化估計(jì)與最佳向后誤差的關(guān)系,證明了在漸近情形下,線性化估計(jì)是最佳向后誤差的良好近似；數(shù)值試驗(yàn)也證明了這一點(diǎn)。
　　 第五部分是針對尺度化整體最小二乘問