最小二乘問題最佳向后誤差的線性化估計.pdf

1、向后誤差是數(shù)值代數(shù)中的一個基本概念。向后誤差分析的結果有多方面的應用,如:檢測新算法的向后穩(wěn)定性。最小二乘問題近似解的最佳向后誤差估計是很多學者關注的課題。Walden,Karlson和Sun對普通最小二乘問題(OLS)近似解的范數(shù)型最佳向后誤差給出了表達式。這項工作引出了大量的后繼研究。Higham給出了便于穩(wěn)定計算的表達形式。注意到最佳向后誤差表達式求值花費太大,很多學者轉(zhuǎn)向?qū)ζ溥M行估計。其中包括Walden和Karlson給出的上

2、界和下界估計。對大型稀疏問題,Malyshev和Sakane建議使用L,anczos雙對角化技術對最佳向后誤差進行估計。Cox和Higham研究了具線性等式約束最小二乘問題(LSE)及球約束最小二乘問題(LSS),給出了最佳向后誤差的上界及下界。Mayshev研究了LSS,證明了最佳向后誤差要么為Cox和Higham給出的下界,要么為Cox和Higham給出的上界。Chang,Golub和Paige對數(shù)據(jù)最小二乘問題(DLS)給出了最佳

3、向后誤差的下界,并證明了該下界在漸近情形與最佳向后誤差等價。Chang和Peloquin對尺度化整體最小二乘問題(STLS)給出了最佳向后誤差的下界。
　　 這篇學位論文采用線性化方法對若干類型的最小二乘問題近似解的最佳向后誤差進行估計,包括普通最小二乘問題、約束最小二乘問題及尺度化整體最小二乘問題。對于普通最小二乘問題及尺度化整體最小二乘問題,本文針對Higham和Higham,Chang和Titley—Peloquin給出的

4、線性化估計,證明了若干新的結果。對于球上最小二乘問題和等式約束最小二乘問題,本文給出了向后誤差的線性化估計,并且與前人給出的向后誤差界做了數(shù)值比較。文中實驗結果表明,當最小二乘問題的近似解靠近精確解時,最小二乘問題最佳向后誤差的線性化估計是最佳向后誤差的好的近似。
　　 論文由五部分組成:
　　 第一部分是引言。介紹了最小二乘問題近似解的最佳向后誤差估計的產(chǎn)生背景,研究現(xiàn)狀以及研究此課題的理論意義,給出本文的主要研究問題

5、。
　　 第二部分是關于普通最小二乘問題近似解的最佳向后誤差的線性化估計。首先給出了最佳向后誤差的線性化估計式；然后討論了線性化估計與最佳向后誤差之間的關系；最后討論了線性化估計與Karlson—Walden估計間的關系,并且給出了數(shù)值比較的有關結果。
　　 第三部分是關于等式約束最小二乘問題近似解的最佳向后誤差估計。首先給出了最佳向后誤差的線性化估計式；其次,考慮到最佳向后誤差的線性化估計計算比較困難,對給出的線性化估

6、計作了進一步的近似；再次,討論了線性化估計與最佳向后誤差之間的關系,并通過數(shù)值實驗檢測所給出的估計；最后,對Higham和Cox給出的最佳向后擾動界,給出相應的線性化估計。
　　 第四部分是關于球上最小二乘問題的向后誤差。首先,給出了最佳向后誤差的線性化估計；接著討論了線性化估計與最佳向后誤差的關系,證明了在漸近情形下,線性化估計是最佳向后誤差的良好近似；數(shù)值試驗也證明了這一點。
　　 第五部分是針對尺度化整體最小二乘問