幾類結(jié)構(gòu)矩陣的譜問題.pdf

1、眾所周知，在工程計(jì)算和實(shí)際應(yīng)用中有許多問題最終都?xì)w結(jié)為矩陣計(jì)算問題，而且不同的應(yīng)用會(huì)導(dǎo)出一些具有特殊結(jié)構(gòu)的矩陣計(jì)算．最常見的一些結(jié)構(gòu)矩陣有 Toep-litz矩陣[ai-j]，Hankel矩陣[ai+j]，Toeplitz-plus-Hankel矩陣，Cauchy矩陣[1/ai-bj]等等．處理與這些結(jié)構(gòu)矩陣有關(guān)的矩陣計(jì)算問題(例如計(jì)算特征值、求解線性方程組等)，若矩陣的階數(shù)較小時(shí)，通常的經(jīng)典算法是可行的(例如 LU分解算法、QR算法等

2、)．然而，在許多實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，矩陣的階數(shù) n很大(n～106-109)或某個(gè)線性方程組需要多次計(jì)算直到得到一個(gè)滿意的結(jié)果(例如迭代法時(shí))，此時(shí)這些經(jīng)典的算法由于代價(jià)太大而失去了實(shí)際意義． 因此，針對(duì)這些結(jié)構(gòu)矩陣的特點(diǎn)而設(shè)計(jì)一些能利用它們的結(jié)構(gòu)的、數(shù)值穩(wěn)定的快速算法，具有非常重要的意義．正因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)矩陣在實(shí)際應(yīng)用中所具有的重要意義，國內(nèi)外眾多的學(xué)者將目光投入到這一領(lǐng)域．結(jié)構(gòu)矩陣的快速算法中最著名的莫過于快速傅里葉變換(即 FFT)，

3、有許多快速算法均是由快速傅里葉變換導(dǎo)出的．因此，著名數(shù)學(xué)家 Charles Van Loan曾這樣評(píng)價(jià)快速傅里葉變換算法：“從計(jì)算的角度看，快速傅里葉變換是本世紀(jì)最杰出的成就之一，毫不夸張地說，快速傅里葉變換改變了科學(xué)與工程計(jì)算的面貌，如果沒有它，生活將會(huì)是另一種景象”． 本論文主要研究了實(shí) Hankel-circulant和 Hankel-skew-circulant矩陣的奇異值分解，給出了對(duì)稱 Toeplitz-plus-H

4、ankel矩陣特征值的快速算法和這個(gè)計(jì)算矩陣特征值算法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)．理論和數(shù)值實(shí)驗(yàn)顯示，這個(gè)快速算法是行之有效的． 第一章，我們簡單介紹了研究結(jié)構(gòu)矩陣快速算法的現(xiàn)實(shí)意義、研究概況以及常用的研究方怯，同時(shí)也給出了與本論文有關(guān)的幾類結(jié)構(gòu)矩陣的定義及其基本性質(zhì)． 第二章，我們給出了 n階對(duì)稱 Toeplitz-plus-Hankel矩陣與一個(gè) n維向量乘積的快速算法；并利用 n階矩陣的對(duì)稱性，對(duì)其實(shí)施 Lanczos三對(duì)角化和