關于隨機矩陣普適性的若干研究.pdf

1、本文主要研究了一些隨機矩陣的普適性極限定理。所謂普適性也就是這些極限性質只與矩陣的結構有關系，而與矩陣元素的具體分布無關（大多數(shù)時候與矩條件有關）。本文主要研究了四個問題。分別是樣本相關系數(shù)陣最大最小特征值的極限分布，Wigner矩陣部分線性譜統(tǒng)計量的高斯波動性，隨機行列式的極限分布以及一個Wigner矩陣特征向量統(tǒng)計量的極限定理。
　　第一章主要是本文的一些背景以及預備知識的介紹。
　　第二章我們討論樣本相關系數(shù)陣最大最小

2、特征值的極限性質。設W=YYT為一個樣本相關系數(shù)陣，其中Y=(yij)p,n的元素為yij=xij/√Σnj=1x2ij。我們設{xij(:)1≤i≤p，1≤j≤n}為一族具有對稱分布且有次指數(shù)尾部的獨立隨機變量。進一步地，對任意i，我們假設xij，1≤j≤n是同分布的。我們考慮0＜p＜n且當p，n→∞時對某個y∈(0，1)存在p/n→y的情形。在這一章中，我們將證明經過適當?shù)囊?guī)范化，W的最大和最小特征值依分布收斂到Tracy-Wido

3、m分布（TW1）。更進一步地，如果xij是i.i.d.的標準正態(tài)分布，我們還證明了對矩陣R=RRT也存在同樣結果。其中R=(rij)p，n的元素為rij=（xij-(x)i）/√nj=1(xij-(x)i)2，(x)i=n-1∑nji1 xij。
　　第三章我們的主要研究對象是復的Wigner矩陣Mn=1/√nWn，規(guī)范化后其特征值主要落在區(qū)間[-2，2]內。設λ1≤λ2…≤λn為Mn的特征值。假設該Wigner矩陣中的元素的前四

4、階矩與高斯酉系綜(GUE)的相同。對于在一個包含[-2，2]的開區(qū)間上四次連續(xù)可微的函數(shù)f，我們對兩類特征值的部分線性統(tǒng)計量建立了中心極限定理。第一類由落在Wigner半圓律主體區(qū)間里的臨界值u來定義，為A[f;u]=∑nl=1f(λl)1{λl≤u}。第二類則為βn[f;k]=Σk=1 f(λl)，其中參數(shù)k=kn為正整數(shù)，且當n趨于無窮時有k/n→y∈(0，1)。進一步地，我們由βB[f;([)nt」]構造了一個部分和過程并得到了它

5、的弱收斂性質。主要的困難是處理由具有一些不可導點的檢驗函數(shù)定義的線性譜統(tǒng)計量。我們的主要策略是結合Helffer-Sj(o)strand公式以及一個關于格林函數(shù)的比較過程把GUE情形的結論推廣到一般的Wigner矩陣情形。另外，關于An[f;u]，我們也討論了實Wigner矩陣的情形。
　　第四章我們考慮隨機方陣An=(aij)n，n，其中{aij=:a(n)ij，i，j=1，…，n}是一族獨立的均值為零方差為1的實隨機變量。在假

6、設sup n max1≤i,j≤n Ea4ij＜∞，下，我們證明以下Girk的行列式det An的對數(shù)律:當n→∞時，有l(wèi)og(|detAn|)-1/2log(n-1)!/√1/2 log n d→ N(0,1).
　　第五章我們考慮一個特征向量的普適性問題。設Mn為一個n×n實（或復）Wigner矩陣，而UnΛnU*n為其譜分解。令(y1，y2…，yn)T=U*nx，其中x=（x1，x2，…，xn）T是一個實（或復）的單位向量。