分數(shù)階的級數(shù)展開、矢量運算及分數(shù)階數(shù)理方程.pdf

1、在這篇論文里，我們首先簡單介紹了分數(shù)階微積分。微積分推廣到分數(shù)階有很多種方法，因而分數(shù)階微積分非常繁雜。一階微積分的許多性質(zhì)在分數(shù)階微積分中都不再成立。但是，在分數(shù)階微積分中，和微積分基本定理相似的一個定理，分數(shù)階微積分基本定理，成立。更明確地說，就是，黎曼-劉維爾分數(shù)階積分和卡普托分數(shù)階導數(shù)互為逆運算。通過這一點，我們定義了分數(shù)階的泰勒展開。我們把超幾何方程推廣到分數(shù)階，并通過分數(shù)階泰勒展開求解，得到了分數(shù)階的超幾何級數(shù)。
　　

2、 在這篇論文里，我們還討論了分數(shù)階矢量運算。在笛卡兒坐標系里進行分數(shù)階矢量運算非常繁瑣。我們注意到，分數(shù)階積分和求導的定義使得在球坐標系里的分數(shù)階矢量運算非常簡單。而且球坐標更自然地適用于點源過程的描述。我們在球坐標系里定義了分數(shù)階矢量運算，進而討論了，與矢量運算相關(guān)的一些數(shù)學物理方程。我們用分數(shù)階級數(shù)展開的方法求解了3維球?qū)ΨQ空間里的分數(shù)階拉普拉斯方程和2維柱對稱空間里的熱傳導方程，分別得到了分數(shù)階的勒讓德函數(shù)和分數(shù)階的貝塞爾函數(shù)。