矩陣數值特征和正定矩陣的研究.pdf

1、矩陣計算和矩陣分析在計算數學，經濟學，控制理論，計算機圖形圖像處理等領域有著廣泛的應用.本文主要研究了矩陣數值特征的估計和正定矩陣的性質及判別法，主要內容和創(chuàng)新點如下：
　　 1.對于任意的復矩陣M∈Mn(C)，我們可以將他寫成如下形式M=(Ak×kB(n-k)C(n-k)×kD(n-k)×(n-k),(1≤k≤n-1),其中Ak×k表示M的k階順序主子陣.為方便，我們用A，B，C和D分別代表Ak×k，Bk(n-k),C(n-k

2、)×k和D(n-k)×(n-k),如果其滿足T(M)=｜trM｜2-(n-1)·min(‖A‖2F+D‖2F+2‖BF‖F‖C‖F)＞0，則我們稱M為TD矩陣，記TD矩陣的全體為TDn.對于TD矩陣，證明了其所有特征值都位于一個圓盤之中，較經典的結果有計算方便的特點.
　　 2.進一步研究發(fā)現，對于任意的復矩陣M∈Mn(C)，其也被寫成如上形式，可得其所有特征值都位于如下一個圓盤之中｛z∈C:｜z-trM/n≤√n-1/n〔‖M

3、‖2F-｜trM｜2/n-max1≤k≤n-1(‖Bk×k(n-k)‖F-‖C(n-k)×k‖F)〕}并將之用于控制理論當中，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的簡捷判據，給出了數值算例.
　　 3.基于一些線性代數的基本理論，得到了矩陣最小奇異值的兩個估計，第一個估計計算簡單，且較為準確.第二個估計計算稍微復雜，但較其它關于最小奇異值估計的結果要精確些.
　　 4.基于一些正定矩陣的理論，推廣或改進了一些經典的正定矩陣的性質，給出了正定矩