二類迭代泛函微分方程的解析解.pdf

1、非線性科學已成為當今基礎科學研究的一個熱點，其中迭代動力系統(tǒng)扮演著十分重要的角色．對迭代動力系統(tǒng)的研究必然涉及迭代泛函微分方程問題．迭代泛函微分方程是一種具有復雜偏差變元的泛函方程，其時滯不僅依賴于時間而且依賴于狀態(tài)或者依賴于狀態(tài)的導數甚至狀態(tài)的高階導數．這類方程是與已經形成了系統(tǒng)理論[1]的傳統(tǒng)的泛函微分方程(滯后型、中立型與超前型)不同的新型方程． 動力系統(tǒng)就是要研究一個決定性系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨時間變化的規(guī)律．根據系統(tǒng)變化的規(guī)

2、律可分為由微分方程描述的連續(xù)動力系統(tǒng)和由映射迭代揭示的離散動力系統(tǒng)．許多物理、力學、生物學以及天文學問題的數學模型都是由連續(xù)的和離散的迭代過程描述的．動力系統(tǒng)的許多問題都可以化為迭代函數方程或迭代泛函微分方程．例如，在描述倍周期分岔普適性中的費根鮑姆(Feigenbaum)方程g(x)=-g(g(-x/λ>))是一個迭代函數方程．再例如，描述經典電動力學的二體問題、一些人口模型、日用品價格波動模型以及血細胞生產模型都涉及到迭代泛函微分方

3、程．本文將研究二種類型的迭代泛函微分方程的解析解的存在性和解的顯式結構． 本文的第一章介紹迭代與動力系統(tǒng)、迭代泛函微分方程的有關概念和發(fā)展情況，以及為第二、三章的證明提供必要的理論基礎。 迭代泛函微分方程與常微分方程有很大的不同．由于未知函數迭代的出現，常微分方程中經典的存在性定理不能使用．迭代微分方程是否有類似于常微分方程的存在性和連續(xù)依賴性定理是一個非常需要回答的問題．本文的第二、三章對二類二階迭代微分方程解析解的存

4、在性和解的構造進行了研究．它是首先利用Schroder變換把迭代泛函微分方程化為不含未知函數迭代的非線性泛函微分方程，再利用優(yōu)級數方法得到解析解的存在性．進而還利用Schroder變換、冪級數理論，來研究這類具有相當廣泛性的非線性迭代函數方程解析解的存在性問題．在方法上要求其解在不動點處的特征值不在單位圓周上或在單位圓周上但滿足Diophantinc條件． 本章要解決的解析解問題也涉及解在不動點處特征值的分布．當特征值處于單位圓

5、周上時收斂性是很復雜的，我們不僅在Diophantinc條件下(特征值“遠離”單位根)證明了形式解的收斂性，而且在非Diophantinc條件下(收斂性等同于著名的“小除數問題”)也取得了一些進展。在本章我們突破了Diophantinc條件的限制，在λ是單位根的情形，給出了解析解結果．在本文中，我們利用優(yōu)級數法分別討論了不同的兩類迭代微分方程的解析解的存在性及其顯式解的結構．我們的創(chuàng)新點是進一步弱化了條件，在比Diophantinc條件