隨機泛函微分方程的穩(wěn)態(tài)數(shù)值解研究.pdf

1、隨機泛函微分方程可以看成是隨機微分方程與確定性泛函微分方程的綜合與推廣，由于用該方程描述的系統(tǒng)既考慮了延遲因素又兼顧了隨機擾動的影響，一般更能反映實際問題的需要，因而被廣泛應(yīng)用于物理、生物、機械、金融、控制等科學(xué)與工程領(lǐng)域的系統(tǒng)建模中。對隨機微分方程，除少數(shù)線性情況外，一般的非線性方程都很難求其理論解，隨機泛函微分方程更是如此，因而構(gòu)造合適的數(shù)值算法對相應(yīng)的解過程進行數(shù)值模擬就顯得尤為重要了。相對于確定性問題，隨機泛函微分方程由于隨機因

2、素的存在，在理論分析與算法構(gòu)造的過程中，其難度和復(fù)雜性將大大提高。 在隨機泛函微分方程的理論中，穩(wěn)定性分析是個重要課題。本文第二章針對一般的隨機泛函微分方程，應(yīng)用Razumikhin技巧，考察了理論解的p階矩漸近穩(wěn)定性，得到了一個非常一般的定理，并引發(fā)出許多相關(guān)的推論與結(jié)論，其中一個重要的應(yīng)用就是可以推出Razumikhin—Mao定理的主要結(jié)果。在實際應(yīng)用中體現(xiàn)了一定的價值。 隨機泛函微分方程是定義在連續(xù)函數(shù)空間上的一

3、類方程，在實際計算中，只能考慮其特殊形式如隨機延遲微分方程。 隨機延遲微分方程的數(shù)值處理是個新的研究領(lǐng)域，目前成果不多，主要是用Euler方法求解此類方程，并考察其線形均方穩(wěn)定性。但Euler方法精度較低，只有強0．5階。 本文第三章將強1階的Milstein方法應(yīng)用于一般的線性隨機延遲微分方程，得到其數(shù)值算法的一般格式，在分析了一類特殊的隨機多重積分矩性質(zhì)的前提下，考察了Milstein方法的均方穩(wěn)定性，得到了當線性系

4、統(tǒng)理論解滿足均方穩(wěn)定性條件下，對應(yīng)數(shù)值解只需步長滿足一定條件亦是均方穩(wěn)定的理論結(jié)果。接著，在第四章我們將Milstein方法應(yīng)用于一般的非線性隨機延遲微分方程，得到了當理論解是均方穩(wěn)定的，方程的漂移和擴散項滿足一定的附加條件時，數(shù)值解也是均方穩(wěn)定的結(jié)論。 當前，關(guān)于隨機延遲微分方程數(shù)值算法理論的研究舉步維艱，其中一個重要的原因就是隨機微分方程的數(shù)值解理論遠不及確定性的成熟。在數(shù)值算法方面，比較系統(tǒng)的有隨機Tayor方法，這類方法

5、可以達到較高的精度，但是弊端是需要求高階導(dǎo)數(shù)，比較麻煩。后來，人們研究了不含導(dǎo)數(shù)的隨機Runge—Kutta方法，這方面的研究相當復(fù)雜與困難。本文第五章在Burrage，R6ssler等人相關(guān)工作的基礎(chǔ)上，研究了求解Ito型隨機微分方程強解的Runge—Kutta方法。構(gòu)造了方法的一般格式，在應(yīng)用發(fā)展隨機Taylor展式和彩色樹理論的基礎(chǔ)上，得到了該類方法的階條件，通過引入新的隨機變量，得到了兩類二級和3個三級的具體格式并分析了方法的均