BANACH空間中積分-微分方程邊值問題的解.pdf

1、　　隨著科技的發(fā)展,在物理學(xué)、化學(xué)、數(shù)學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、控制論等科學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)了各種各樣的非線性問題,這些非線性問題日益引起了人們的廣泛重視。而非線性泛函分析為解決這些問題提供了富有成效的理論工具。目前非線性泛函分析已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的一個(gè)分支,主要包括拓?fù)涠壤碚摗⑴R界點(diǎn)理論和半序方法等。1912年L.E.J.Brouwer對(duì)有限維空間建立了拓?fù)涠鹊母拍?1934年J.Leray和J-.schauder將這一概念推廣到B

2、anach空間的全連續(xù)場,后來E.Rothe,H.Amann[1],M.A.Krasnose’skii[2],K.Deimling[3],L.Nirenberg[4]等對(duì)拓?fù)涠壤碚?錐理論及其應(yīng)用做出了杰出的工作。國內(nèi)張恭慶教授[5]、陳文(山原)教授[6]、郭大鈞教授[7]等眾多學(xué)者在非線性泛函分析的各個(gè)領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究[8-11,18-21]。
　　令E為一實(shí)Banach空間?？紤]下面Cauchy問題
　　x′=f(

3、t,x),x(t0)=x0,(a)其中f∈C[[a,b]×D,E],D(？)E,t0∈[a,b],x0∈D。如果dim E=∞,1950年J.Dieudonne[12]舉出反例(見第一章第一節(jié)),說明有限維空間常微分方程的基本存在定理—Cauchy-Peano定理—對(duì)無窮維空間上的常微分方程不再成立。該反例得發(fā)表是Banach空間常微分方程理論發(fā)展過程中的一個(gè)重大事件,它表明由于無窮維空間同有限維空間的本質(zhì)區(qū)別,有限維空間常微分方程的許

4、多結(jié)論和方法,對(duì)無窮維空間常微分方程不再適用。無窮維空間常微分方程的研究,存在本質(zhì)的困難,需要新的理論,新的工具,新的方法。到上世紀(jì)80年代末,經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的努力,Banach空間常微分方程已經(jīng)初步形成理論體系,其標(biāo)志是著作[13-16]的問世。K.Deimling[13](定理2.1)在緊性型條件下推廣了Cauchy-Peano定理。K.Deimling[13](定理3.2)在耗散型條件得到了Cauchy問題(a)解的存在唯一性。S

5、.W.Du和V.Lakshmikantham[17],運(yùn)用上下解方法與單調(diào)迭代技巧得到了Cauchy問題(a)的最大解與最小解。作為補(bǔ)充,孫經(jīng)先和孫勇[18]研究了當(dāng)f(x)是不連續(xù)的增函數(shù)時(shí)Cauchy問題(a)(方程右端不含t)最大廣義解與最小廣義解的存在性。郭大鈞[7,9,21]與V.Lakshmikantham[7,21]等致力于抽象空間錐理論的研究,并且運(yùn)用錐理論結(jié)合半序方法研究Banach空間中的常微分方程。在方法上,通過建

6、立比較定理,運(yùn)用上下解方法,對(duì)Banach空間中各種常微分方程(特別是初值問題)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究,見V.Lakshmikantham,S.Leela和A.S.Vatsala[22],L.H.Erbe和郭大鈞[23],郭大鈞[19,20,31-33],孫經(jīng)先[24,25,26],韋忠禮[27],王建國[28],劉立山[29,30],宋光興[34],劉笑穎與吳從炘[35].其中所研究的問題有以下的局限性：(1)大都研究的是一階或二階初值問題