分?jǐn)?shù)階子擴(kuò)散方程的高階差分格式.pdf

1、分?jǐn)?shù)階偏微分方程廣泛應(yīng)用于生物學(xué)、化學(xué)、金融學(xué)、流體力學(xué)、材料力學(xué)等領(lǐng)域，目前關(guān)于分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解析解已有一些研究，但很多分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解析解依舊很難得到，尤其是非線性方程。因此，求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值算法越來(lái)越受關(guān)注。
　　本文首先簡(jiǎn)要回顧分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散波方程的歷史及其應(yīng)用，給出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的幾種常用定義及它們之間的聯(lián)系。簡(jiǎn)述Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的幾種常用離散方

2、法，對(duì)分?jǐn)?shù)階子擴(kuò)散方程數(shù)值算法領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀進(jìn)行總結(jié)和分析。
　　隨后，本文通過(guò)利用L12公式離散Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，四階緊差分格式離散二階空間偏導(dǎo)數(shù)，給出求解分?jǐn)?shù)階子擴(kuò)散方程的高階差分格式。該格式的截?cái)嗾`差為O(τ3α+h4),其中h為空間步長(zhǎng)，τ為時(shí)間步長(zhǎng)，α為分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。進(jìn)而，研究差分方程解的存在唯一性，并在一定條件下利用能量法獲得該格式在無(wú)窮范數(shù)意義下的穩(wěn)定性和收斂性結(jié)果。
　　最后，給出一些數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證