riesz空間分數階擴散方程的中心差分方法

1、基金項目：國家自然科學基金項目（51174236）；國家重點基礎研究發(fā)展計劃（2011CB606306）中南大學研究生自由探索項目（2013zzts146）通信作者：鄭洲順，教授，博士，中南大學數學與統(tǒng)計學院，Email:z空間分數階擴散方程的分數階中心差分加權離散格式鄧娟，鄭洲順中南大學數學與統(tǒng)計學院，湖南長沙，410083摘要：摘要：在有限區(qū)域內考慮帶齊次Dirichlet邊界條件的Riesz空間分數階擴散方程的初邊值問題，利用分數

2、階中心差分對空間方向進行離散，在時間方向上用隱式和顯式Euler格式的加權平均進行離散，構造了空間2階、時間階()的全離散加權差分格式。利用函?12??數的單調性證明了當加權因子時差分離散格式是無條件穩(wěn)定的，當時差分120???121???離散格式是條件穩(wěn)定的，并給出了穩(wěn)定的條件。證明了相應差分離散格式的收斂性。用實際數值算例驗證了差分離散格式的有效性。關鍵詞：關鍵詞：Riesz導數；分數階擴散方程；分數階中心差分；穩(wěn)定性分析；收斂性分

3、析中圖分類號中圖分類號：O241.82文獻標識碼文獻標識碼：A分數階微分方程越來越多地出現在不同的科學領域的應用中，例如分數階擴散方程、波動方程、薛定諤方程、電報方程、弛豫振蕩方程等等[15]，應用領域涵蓋了流體力學[36]、地下水模擬[7]、、湍流[8]、生物數學、統(tǒng)計力學、分形介質中的擴散問題等。由此，分數階微分方程求解也受到越來越多的關注，尤其是數值方法。以往的差分方法大多數是基于GrunwaldLetnikov導數得到的逼近格式

4、[913]，或基于數值積分的思想[1315]，或利用Ridson外推技巧[1016]等方法來得到的。作為一個新的方法，tigueira[17]給出了分數階中心差分（FractionalCentredDifference）的定義，證明了解析函數的Riesz導數可以由分數階中心差分來表示。C.Celik[18]等用分數階中心差分的定義構造了一種二階精度的CrankNicholson差分算法。本文將利用分數階中心差分構造Riesz空間分數階擴

5、散方程的加權平均差分格式，分析相應格式的穩(wěn)定性和收斂性，用數值算例驗證算法的可行性。這里考慮如下的帶齊次Dirichlet邊界條件的Riesz空間分數階擴散方程的初邊值問題（1）()()()in[](0]uxtuxtDpxtabTtx?????????初邊值條件為：，。()()00uatubtt???0(0)()[]uxuxxab??，，111nnMjjjnnkjkjkjuuDhgup???????????????1nnMjjjnnkj

6、kjkjuuDhgup?????????????根據上述隱式和顯式Euler格式，用加權平均的方法給出其如下差分格式：。（5）111(1)(1)nnMjMjjjnnnnkjkkjkjjkjkjuuDhguDhgupp??????????????????????????????其中，為加權因子。01???對帶齊次Dirichlet邊界條件的Riesz空間分數階擴散方程的初邊值問題，用分數階中心差分離散Riesz空間分數階導數，再將時間導數

7、用隱式和顯式Euler格式的加權平均的進行離散，從而得到其全離散格式為：（6）11000(1)111()121001nnMjMjjjnnnkjkkjkjkjkjjjnnMuuDhguDhgupjMnuuxjMuun??????????????????????????????????????其中，。1(1)nnnjjjppp????????2誤差分析誤差分析由的表達式，容易得出下面的結論[18]。kg引理引理2關于系數有如下性質：kg（i

8、）；??02(1)0(1)2g????????（ii）；00kgfk??（iii）；kkgg??（iv）。00kkgg???在文獻[18]中給出了數值逼近的系數與生成函數的關0lim()()hkhkhfxhgfxkh??????????????系，即，其中。2sin()2ikzkkzge???????zR?當時，上式變成，根據性質（i）和（ii）中的正負情況，則有0z?0kkg??????kg。于是（iv）得證。000kkkkggg??