隨機Cahn-Hilliard方程的吸引子.pdf

1、吸引子是最近興起的熱點問題之一.全局吸引子已成為描述一些偏微分方程的解所產(chǎn)生的動力系統(tǒng)漸近行為的有用工具。全局吸引子是一個不變集且吸引系統(tǒng)的每一個軌道．全局吸引子的形狀較為復(fù)雜，反映了動力系統(tǒng)在無窮遠(yuǎn)時間處的復(fù)雜性.確定性的情況已被很多學(xué)者系統(tǒng)地研究過．在1994年，Crauel H.和Flandoli F.在[2]中通過吸引集的定義為隨機動力系統(tǒng)定義了全局吸引子。在隨機情況下，全局吸引子是一個緊的不變隨機集且吸引每一個確定的有界集。由

2、此，吸引子理論得到更進一步的發(fā)展。 在本文中，考慮了Cahn-Hiiliard方程的吸引子。該方程是由Calm和Hilliard在[7]中首次引入，用來描述二元合金隨著溫度t的變化階段性分離物的變化情況。確定性的情況已被Temma等人系統(tǒng)的研究過.因此象最近一些學(xué)者考慮其他方程那樣，考慮了一些非正則性條件，給方程分別加上一個隨機部分——加法白噪聲和乘法白噪聲?？紤]它們的隨機吸引子情況． 在這里我們考慮了如下兩種情況的隨機

3、Cahn-Hilliard方程du+(△2u-△f(u))dt=φdw (0.1)和du+(△2u-△f(u))dt=u o dw. (O.2)這里(x，t)∈G×R，G=Πni=1(0，Li)，Li＞0是Rn中具有光滑邊界Γ的一個有界開區(qū)域，n=1，2，或3.，是一個2p-1次多項式 2p-1 f(u)=∑aj uj，p∈N，p≥2，a2p-1＞0. (0.3) j=1φ∈D(A2)nL2(G)，Aφ∈Z，其中A，D(A2，)L2(G

4、)見文中定義。與兩方程相應(yīng)的邊界條件是周期邊界ψ|xi=0=ψ|xi=Li,i=1，…，n. 白噪聲是用被現(xiàn)實干擾的Wiener-過程描述的．這里我們假設(shè)w(t)是定義在概率空間(Ω，Υ，P)上的—個雙邊Wiener-過程。其中Ω={ω∈C(R，R)：ω(0)=0}. Da Prato G.和Debussche A.在(41中證明了方程(0.1)存在唯一解.類似的我們也可以得出方程(0.2)也有唯一解．這個唯一解將產(chǎn)生一

5、個隨機動力系統(tǒng)(RDS)S。本文的目的就是證明與這個隨機RDS相應(yīng)的全局吸引子的存在性。 由于這兩個方程及所給邊界條件的特殊性，即使在確定性的情況下也很難在L2(·)空間中找到全局吸引子.因此我們考慮在文中所定義的空間V_1中全局吸引子的存在情況由定理1.3.21，我們只要能找到一個緊的隨機吸收集吸收V_1空間中每—個確定的有界集B即可。因此我們需要做下面兩步，首先，證明方程的每一個解在V_1空間中都是一個確定的有界集．第二，證

6、明在V_1空間中存在一個緊的隨機吸收集吸收上述的每一個有界集．在證明所找到的吸收集緊性的時候，很多學(xué)者應(yīng)用的是兩個空間的緊嵌入關(guān)系．但是在本文中V_1空間和L2(G)空間不具備緊嵌入關(guān)系，因此我們不能再用上述理論證明。在此我們利用文中定義的算子A-1/2的緊性證明了吸收集的緊性。 在第二章我們證明了帶有加法白噪聲的Cahn-Hflliard方程的解在V_1空間中具有下述性質(zhì)。 引理2.1存在一個隨機半徑γ1(ω)＞0，使

7、得對任意的ρ＞0，存在t≤-1，當(dāng)t0≤t且u0∈V_1，‖u0‖-1≤p時，對于幾乎所有的ω∈Ω，方程(O.1)的解u(t，ω；t0，u0)滿足‖u( t,ω；t0,u0)‖2_1≤γ2/1(ω). 為了下面引理證明的方便，我們也證明了下面的引理引理2.2存在隨機半徑C1(ω)，C2(ω)，C3(ω)＞O，使得對任意P＞0，存在t≤-1，當(dāng)t0≤t且u0∈V_1，‖u0‖-1≤ρ時，對于幾乎所有的ω∈Ω，方程(0.1)的解u(

8、t，ω；t0，u0)和文中(2.7)的解υ(t，ω；to，υ0)滿足∫0-1‖u(t)‖21 dt≤(ω)，∫_1|υ(t)|2 dt≤C2/29ω)，∫_1‖u(t)‖2p/Z dt≤C2/3(ω). 下述引理說明在V_1空間中存在緊的吸收集吸收V_1中每一個確定的有界集. 引理2.3在V_1空間中存在緊的隨機集機B(0，γ2(ω))，使得對一切ρ＞0，存在t≤-1，當(dāng)t0≤t且u0∈V_1，‖u0‖-1≤ρ時，方程(

9、0.1)的解u(0，ω，t0，u0)с B(0，γ2（ω))對于ω∈Ω幾乎處處成立。 由此我們得到了下面有用的結(jié)論： 定理2.4帶有加法白噪聲且具有周期邊界條件的Cahn-Hilliard方程的解所產(chǎn)生的隨機動力系統(tǒng)在V_1空間中存在全局吸引子吸引V_1空間中所有確定的有界集。 對帶有乘法白噪聲的Cahn-Hilliard方程我們得到了相似的結(jié)論，引理3.1存在一個隨機半徑λ(ω)＞0，使得對任意的ρ＞0，存在t

10、≤-1，當(dāng)t0≤t且u0∈V_1，‖u0‖-1≤ρ時，對于幾乎所有的ω∈Ω，方程(0.2)的解u(t，ω；t0，u0)滿足‖u(t，ω；t0,u0)‖2_1≤λ2/1(ω)。引理3.2存在隨機半徑a1(ω)，a2(ω)＞0，使得對任意ρ＞0，存在t≤-1，當(dāng)t0 ≤t且u0∈V_1，‖u0‖_1≤ρ時，對于幾乎所有的ω∈Ω，方程(0.2)的解ω(t，ω；t0，u0)和文中(3.5)的解υ(t，ω；t0，υ0)滿足∫0_1‖u(t)‖dt

11、≤a2/1(ω)，ζ_1|υ(t)|2 dt≤a2/2(ω)。 引理3.3在V_1空間中存在緊的隨機集B(0，λ2(ω)使得對一切ρ＞0，存在t≤-1，當(dāng)t0≤t且u0∈V_1‖u0‖-1≤ρ時，方程(0.2)的解u(0，ω；t0，u0)C B(0，λ2(ω))對于ω∈Ω幾乎處處成立。 定理3.4帶有乘法白噪聲且具有周期邊界條件的Cahn-Hilliard方程的解所產(chǎn)生的隨機動力系統(tǒng)在V_1空間中存在全局吸引子吸引V_1