第二類積分方程多尺度方法：分析與實現(xiàn).pdf

1、該論文研究第二類弱奇性積分方程的多尺度方法的若干理論和應(yīng)用問題.全文共分為九章.第一章扼要地介紹第二類積分方程以及求解方程的投影法格式,然后簡單回顧了隨小波方法而興起的多尺度方法以及快速配置法建立的歷史.最后總結(jié)該論文的主要工作和給出全文的通用記號.第二章簡要敘述快速配置法的理論框架及主要理論結(jié)果,并給出了多尺度基和配置泛函的一般構(gòu)造方法.該章內(nèi)容取自快速配置法的經(jīng)典文獻[29],作為全文的基礎(chǔ)和出發(fā)點.第三章研究一般歐氏空間Rd中的單

2、純形的等度剖分方法,其中d可取任意正整數(shù).通過將各子區(qū)域與Zdu中的向量建立一一對應(yīng)關(guān)系,我們構(gòu)造性地給出了單純形的剖分方法以及將單純形映到剖分后各子區(qū)域的壓縮仿射映射的表達式,并證明了剖分的等度性質(zhì).這一工作是構(gòu)造高維多尺度基的基礎(chǔ).第四章研究加細集,配置泛函和多尺度基.該章可分為兩大部分.第一部分研究加細集的代數(shù)性質(zhì)及構(gòu)造方法,比較系統(tǒng)地分析了加細集的相互關(guān)系,進而對加細集進行分類,最后給出加細集的一些重要例子.第二部分敘述配置泛函

3、和多尺度基的具體構(gòu)造過程,并依照這些步驟構(gòu)造了一,二,三維情形下的一些重要基底.第五章敘述多層擴充法的理論框架及其在第二類算子方程上的應(yīng)用.該章首先建立了多層擴充法的一般格式,然后導出其在第二類方程上的特殊格式,證明了算法可以達到原問題的最佳收斂階.我們還敘述了多層擴充法關(guān)于第二類方程的離散格式,并證明了連續(xù)和離散格式的等價性.當系數(shù)矩陣進行了截斷時,多層擴充法仍然有效.第六章分析快速配置法的截斷策略,并簡單討論了截斷后得到的稀疏矩陣適

4、用的數(shù)據(jù)存儲結(jié)構(gòu).該章對文獻[29]建立的理論截斷策略中的參數(shù)取值進行了分析,更明確地揭示了收斂階和計算復雜度之間的矛盾關(guān)系,并得到了三組導致不同收斂階和復雜度的參數(shù)取值方案.在這些討論的基礎(chǔ)上,我們對一維問題的快速配置法建立了塊截斷策略,這種截斷格式更便于實現(xiàn)算法和存儲數(shù)據(jù).對于數(shù)據(jù)存儲結(jié)構(gòu),我們分析了存儲格式與稀疏矩陣元素分布特點以及線性方程組求解格式之間的關(guān)系,并給出了一套適用于多尺度基離散化及多層擴充法的存儲方法.第七章研究數(shù)值

5、積分的誤差控制.我們對一維問題選取了兩種典型的奇異積分數(shù)值算法,研究用這些方法來近似計算系數(shù)矩陣元素時,應(yīng)如何控制積分精度才不會損失數(shù)值解的收斂階,并估計了相應(yīng)的計算復雜度.第八章給出幾個數(shù)值實驗,包括實驗方案和數(shù)值計算結(jié)果,用于驗證該論文前面章節(jié)中的理論結(jié)果.第九章建立微分方程的多層擴充法.我們首先證明了微分方程的變分形式可等價于一個第二類算子方程,從而可用多層擴充法來求解離散化后的線性方程組;然后敘述了適用于多層擴充法的一維基底的一