Ricci-平均曲率流和聯(lián)絡(luò)Ricci流.pdf

1、幾何曲率流是指對微分流形的幾何量進行演化，演化速度為曲率的某個函數(shù).根據(jù)幾何量的不同，一般分為內(nèi)蘊的曲率流和外蘊的曲率流.最經(jīng)典的就是Ricci流和超曲面的平均曲率流.Ricci流是由Hamilton所引入，并成為Perelman完全解決龐加菜猜想的主要工具.受到Hamilton的Ricci流的啟發(fā),Huisken最早用拋物方程的方法來研究超曲面的平均曲率流.
　　本文首先研究Ricci-平均曲率流.所謂的Ricci-平均曲率流是

2、指這樣的一族浸入X(·，t):Mn→(Nn+1，(g)(t))，其中(g)(t)滿足Ricci流，X(·，t)滿足超曲面的平均曲率流.此時外圍空間在Ricci流下演化，從而對超曲面的行為產(chǎn)生影響.我們比較關(guān)心超曲面的收斂性問題.在外圍空間滿足規(guī)范化的Ricci流且初始的度量與球空間形式充分接近的情況下，我們證明了如果初始的超曲面滿足一個合適的pinching條件，那么這族超曲面在Ricci-平均曲率流下或者在有限時間內(nèi)收縮到一個圓點，或

3、者收斂到一張全測地超球面.
　　通過構(gòu)造F泛函，Huisken說明了對于閉超曲面的平均曲率流，其第一類奇點對應(yīng)著self-shrinker.Colding-Minicozzi對self-shrinker的研究做出了突破性的工作.他們對self-shrinker提出了熵穩(wěn)定性的概念并分類了熵穩(wěn)定的self-shrinker.在外圍空間是Ricci soliton的情況下，Magni-Mantegazza-Tsatis構(gòu)造了類似于Hu

4、isken的泛函.使之在平均曲率流下單減.之后，在外圍空間是收縮的梯度Riccisoliton（N、(g)，f）的情況下，Yamamoto說明了對于超曲面的Ricci-平均曲率流，其第一類奇點對應(yīng)于f-極小超曲面，即極限的超曲面滿足H=(g)(▽f，v).一個很自然的問題就是分類收縮的梯度Ricci soliton中的f-極小超曲面.我們考慮乘積流形Mn×R其中Mn是一個具有常正Ricci曲率的Einstein流形.通過構(gòu)造類似于Hui

5、sken的F泛函、我們給出f-極小超曲面的自然的分類.
　　重整化群流是由物理學(xué)家在研究量子場論中的非線性σ模型時所提出.由此，Streets引入了聯(lián)絡(luò)Ricci流，即將Ricci流推廣到帶撓率的聯(lián)絡(luò)上.在本文中,我們考慮3維閉流形的聯(lián)絡(luò)Ricci流.奇點分析在曲率流的研究中起到很關(guān)鍵的作用，而奇點的分類一般依據(jù)的是幾何量的blow-up速度.利用發(fā)展方程，我們得到了帶由撓率聯(lián)絡(luò)所定義的曲率的blow-up速度的下界估計.之后我們