一類(lèi)算子穩(wěn)定過(guò)程的樣本軌道性質(zhì).pdf

1、隨機(jī)分形是融概率論、經(jīng)典分析和幾何學(xué)于一體的新興數(shù)學(xué)分支.隨機(jī)過(guò)程樣本軌道的分形性質(zhì)是隨機(jī)分形理論的重要組成部分和活躍的研究方向.鑒于嚴(yán)格穩(wěn)定過(guò)程(strictly stable process)的很多良好性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，很有必要將其推廣到更一般情形而討論其相關(guān)的分形性質(zhì).本文主要研究了膨脹穩(wěn)定過(guò)程(dilation-stable process)象集和圖集的確切Hausdorff測(cè)度函數(shù)和Packing測(cè)度函數(shù)，部分解決了肖益民提出的關(guān)于

2、算子穩(wěn)定過(guò)程(operator stalble process)象集的確切Hausdorff測(cè)度函數(shù)的問(wèn)題.我們同時(shí)也建立了膨脹穩(wěn)定過(guò)程逗留時(shí)、首離時(shí)的lim sup型重對(duì)數(shù)律.另外，本文還給出了兩個(gè)獨(dú)立的嚴(yán)格穩(wěn)定過(guò)程象集的乘積集的確切Hausdorff測(cè)度函數(shù).下面分兩方面對(duì)此進(jìn)行闡述： 膨脹穩(wěn)定過(guò)程是一類(lèi)指數(shù)為對(duì)角矩陣的算子穩(wěn)定過(guò)程，也可以說(shuō)是嚴(yán)格穩(wěn)定過(guò)程關(guān)于階的一種自然推廣，具有較強(qiáng)的實(shí)際背景.因此，膨脹穩(wěn)定過(guò)程的樣本軌道

3、的分形性質(zhì)的研究具有很大的理論意義和應(yīng)用價(jià)值.具體而言，本論文首先猜測(cè)類(lèi)型A的膨脹穩(wěn)定過(guò)程的象集的確切Hausdorff測(cè)度函數(shù)的表達(dá)式，并證明之.在下界的證明中我們主要是定義一個(gè)Borel測(cè)度，然后利用密度定理這一有利工具.密度定理是我們研究測(cè)度性質(zhì)的非常有效的手段.在上界的證明中我們需要借助逗留時(shí)的一些性質(zhì)，把狀態(tài)空間分為好的和壞的立方體去覆蓋過(guò)程的樣本軌道，然后估計(jì)其上界，其證明過(guò)程比較復(fù)雜.因?yàn)榕蛎浄€(wěn)定過(guò)程的結(jié)構(gòu)比嚴(yán)格穩(wěn)定過(guò)程要

4、復(fù)雜的多，也不同于穩(wěn)定分量過(guò)程，它的每個(gè)分量不要求相互獨(dú)立，所以這給我們進(jìn)行一些精確的概率估計(jì)帶來(lái)了困難.但是，在證明的過(guò)程中我們也得到其他一些有趣的結(jié)果.比如，建立了此過(guò)程逗留時(shí)、首離時(shí)的lim sup重對(duì)數(shù)律.但是當(dāng)我們考慮圖集的確切Hausdorff測(cè)度函數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)上述方法在證明上界時(shí)很難過(guò)去，因此還需要引入新的研究方法.后來(lái)我們借鑒分?jǐn)?shù)Brown運(yùn)動(dòng)圖集的確切Hausdorff測(cè)度函數(shù)的證明方法，選取具有特殊性質(zhì)的小區(qū)間去覆蓋時(shí)

5、間[0，1],然后通過(guò)技巧復(fù)雜的計(jì)算估計(jì)其上界.證明的過(guò)程中我們需要用到算子穩(wěn)定過(guò)程軌道是β階有界變差的和一些重要的概率估計(jì)，這給我們證明帶來(lái)了一定難度.至于象集和圖集的Packing測(cè)度函數(shù)的研究主要是借鑒嚴(yán)格穩(wěn)定過(guò)程的研究方法. 其次，我們還研究了兩個(gè)獨(dú)立的嚴(yán)格穩(wěn)定過(guò)程象集的乘積集的確切Haus-dorff測(cè)度函數(shù).1994年，胡曉予給出了兩個(gè)獨(dú)立的穩(wěn)定從屬過(guò)程且階介于0，1之間的象集的乘積集的確切Hausdorff測(cè)度函數(shù)