由冪等元和可逆元生成的相關環(huán)的結構.pdf

1、在環(huán)論中,研究環(huán)中冪等元和可逆元常常被作為研究環(huán)的重要手段。很多環(huán)正是根據其中元素與冪等元、可逆元的關系來確定其分類與命名的,例如布爾環(huán)、除環(huán)、clean環(huán)和2-good環(huán)等。如果一個環(huán)可由其冪等元和可逆元生成,這類環(huán)往往都具有很好的性質,并可廣泛應用于其他領域,具有較高的研究價值。本文針對幾類與冪等元、可逆元密切相關的環(huán)進行了討論,主要包括滿足GM條件的環(huán)、clean環(huán)和左p.p.環(huán)。具體工作如下:
　　首先,構造一個反例,說明

2、有關半局部環(huán)GM條件的結論是有漏洞的,并進一步給出半局部環(huán)滿足GM條件的充要條件。彌補結論“半局部環(huán)R滿足GM條件當且僅當R沒有同態(tài)像同構于Z2或Z3”的缺陷,修正了有關半局部環(huán)GM條件的結論。此外,鑒于與GM條件密切相關的兩個條件,(P)條件和(Q)條件,的刻畫潛在運用了GM條件的相關結論,本文對此提出了新的論證。這些工作既糾正了前人的結論,又完善了與GM條件相關的其他條件的研究,為GM理論的發(fā)展提供了堅實的理論基礎。
　　其次

3、,給出一個*-環(huán)是強*-clean環(huán)的刻畫,并首次引入唯一強*-clean環(huán)的概念。提出并證明一個*-環(huán)是強*-clean環(huán)的充要條件。另外,回答了Vas提出的兩個公開問題,討論一個*-環(huán)是唯一強*-clean環(huán)的等價條件,并對其環(huán)性質進行探討。這些工作不僅豐富了強*-clean環(huán)的研究,還對相關理論的發(fā)展提供了有利的工具。
　　最后,考慮到正則環(huán)上的矩陣環(huán)和上三角矩陣環(huán)都是左p.p.環(huán),且矩陣環(huán)和上三角矩陣環(huán)是結構矩陣環(huán)的兩種特

4、殊情況,本文完整給出了正則環(huán)上的結構矩陣環(huán)是左p.p.環(huán)的等價條件。舉例說明當環(huán)R是正則環(huán)時,其上的結構矩陣環(huán)不一定是左p.p.環(huán)。受此啟發(fā),提出一個重要技術性引理,并反復應用該引理完全刻畫在這種條件下結構矩陣環(huán)為左p.p.環(huán)的條件。此外對結構矩陣環(huán)上的其它性質也進行了討論。這一工作的意義在于,雖然正則環(huán)上的某些結構矩陣環(huán)是左p.p.環(huán),但這不是一般現象。文本在此給出了系統的刻畫。
　　本文對以上三類環(huán)的研究豐富了由冪等元和可逆元