局部環(huán)上矩陣幾何的一些研究.pdf

1、矩陣幾何是華羅庚院士于上世紀(jì)四十年代開(kāi)創(chuàng)的一個(gè)數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域，其成果和價(jià)值長(zhǎng)期受到國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者的重視．幾十年來(lái)，產(chǎn)生和應(yīng)用了六類(lèi)矩陣群上的矩陣幾何成果；同時(shí)，這幾類(lèi)矩陣群上的矩陣幾何基本定理的條件也不斷得到簡(jiǎn)化．近些年來(lái)，矩陣幾何呈現(xiàn)出從域(或除環(huán))向其它類(lèi)型的環(huán)拓展的趨勢(shì)，相繼形成了PID和Bezout整環(huán)上矩陣群的矩陣幾何。 局部環(huán)是一類(lèi)很重要的環(huán)，局部環(huán)上的矩陣幾何與矩陣論在很多實(shí)際問(wèn)題中有重要的應(yīng)用．但是由于零因子帶來(lái)的

2、困難，非域的局部環(huán)上矩陣幾何的研究很復(fù)雜，目前尚未見(jiàn)到成果發(fā)表．本文是對(duì)交換局部環(huán)與特殊伽羅瓦(Galios)環(huán)Z/psZ(其中Z為整數(shù)環(huán)，p為素?cái)?shù)，s為正整數(shù))上的長(zhǎng)方矩陣幾何進(jìn)行初步的研究，主要討論特殊伽羅瓦環(huán)上矩陣的算術(shù)距離與極大集的性質(zhì)，以及關(guān)于伽羅瓦環(huán)上矩陣的雙向保粘切的雙射的一些性質(zhì)，同時(shí)本文也討論了交換局部環(huán)與特殊伽羅瓦環(huán)上線(xiàn)性代數(shù)與矩陣論的一些基本性質(zhì)．本文的結(jié)果對(duì)有限環(huán)和局部環(huán)上矩陣幾何的進(jìn)一步研究有較好的理論意義，也

3、具有較好的應(yīng)用背景。 本文共分四章．第一章介紹本文的研究背景、矩陣幾何的發(fā)展動(dòng)態(tài)以及本文的主要結(jié)論．第二章討論局部環(huán)上矩陣論，主要討論伽羅瓦環(huán)上矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形，矩陣的內(nèi)秩與Mc-秩，酉模矩陣，向量組的線(xiàn)性關(guān)系．第三章為本文的主要結(jié)果，其中討論了伽羅瓦環(huán)上矩陣的算術(shù)距離與距離，證明了算術(shù)距離與距離是相等的。討論了伽羅瓦環(huán)上矩陣的極大集的代數(shù)結(jié)構(gòu)，以及極大集的幾何性質(zhì)。在第四章中，我們討論了關(guān)于伽羅瓦環(huán)上矩陣的保Mc-距離