幾類非線性生物數(shù)學(xué)模型的動(dòng)力學(xué)行為研究.pdf

1、生物數(shù)學(xué)是一門介于生物學(xué)和數(shù)學(xué)之間的邊緣學(xué)科．這門學(xué)科以數(shù)學(xué)方法研究和解決生物學(xué)問題，并對(duì)與生物學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行理論研究．種群動(dòng)力學(xué)和傳染病動(dòng)力學(xué)是生物數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要分支，本文主要研究了兩類種群動(dòng)力學(xué)模型和一類傳染病動(dòng)力學(xué)模型的動(dòng)力學(xué)行為，對(duì)它們的研究在生物數(shù)學(xué)上具有重要的理論和實(shí)際意義． 分支現(xiàn)象發(fā)生在依賴于參數(shù)的系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)在某些特定值附近變化時(shí)，系統(tǒng)的解的某些結(jié)構(gòu)屬性發(fā)生了變化，這種變化稱為分支現(xiàn)象，這些參數(shù)值稱為

2、分支值．與系統(tǒng)的平衡狀態(tài)及周期解相關(guān)的分支稱為Hopf分支．首先，本文第二章研究了具有離散和分布時(shí)滯的捕食-食餌模型．模型正平衡點(diǎn)的特征方程是特殊的三階指數(shù)多項(xiàng)式方程，把離散時(shí)滯T看作參數(shù)，理論分析表明，在一定條件下，小時(shí)滯并不影響正平衡點(diǎn)的漸近穩(wěn)定性，而當(dāng)時(shí)滯丁超過某臨界值時(shí)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性發(fā)生變化，即從穩(wěn)定到不穩(wěn)定，在這個(gè)過程中經(jīng)歷Hopf分支，從正平衡點(diǎn)分支出一族周期解．同時(shí)，利用中心流形定理和規(guī)范型理論，研究了分支周期解的性質(zhì)，

3、諸如分支方向、分支周期解的穩(wěn)定性．進(jìn)一步，利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了得到的理論結(jié)果． 其次，第三章研究了具有Beddington-DeAngelis功能反應(yīng)函數(shù)的階段結(jié)構(gòu)捕食-食餌模型．在一定條件下該模型有唯一的正平衡點(diǎn)，通過對(duì)正平衡點(diǎn)處特征方程根的分布的研究，得到了正平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的充分條件，并且在一定條件下，當(dāng)時(shí)滯γ超過某些臨界值時(shí)正平衡點(diǎn)經(jīng)歷Hopf分支，從正平衡點(diǎn)分支出一族周期解．同時(shí)，運(yùn)用迭代的方法和比較原理，得到了正平衡

4、點(diǎn)全局穩(wěn)定的充分條件．進(jìn)一步，利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了得到的理論結(jié)果． 最后，第四章研究了具有非單調(diào)傳染率的傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為．通過分析，導(dǎo)出了模型的基本再生數(shù)R0，當(dāng)R0=1時(shí)，利用Lyapunov-Lasalle不變集原理，證明無病平衡點(diǎn)是全局吸引的．當(dāng)R0<1時(shí)，通過構(gòu)造Lyapunov泛函，證明無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，在此條件下，當(dāng)γ>γ*時(shí)，時(shí)滯γ的變化不影響無病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性．當(dāng)R0>1時(shí)，通過構(gòu)造Lyap