幾類生物數學模型的動力學研究.pdf

1、本文考慮了生態(tài)學和醫(yī)學中幾個經典數學模型的改進和推廣,利用微分方程定性理論,分支理論和泛函微分方程理論,研究其動力學行為,如系統(tǒng)的持續(xù)生存性,平衡點的穩(wěn)定性,周期解的存在性和穩(wěn)定性,并探討了系統(tǒng)中參數對其動力學行為的影響,為解釋、預測和控制生態(tài)學和醫(yī)學中的一些現象提供相應的理論依據.具體地,本文做了以下工作:
　　 一、由于傳染病傳播途徑和方式的復雜性,實際中很難準確描述接觸率和發(fā)生率以及處于疾病潛伏期的人群數量,在文獻[112

2、]工作的基礎上,我們考慮具有更一般的非線性發(fā)生率的SIRS傳染病模型,并引進時滯來刻畫疾病潛伏期.對此模型進行全參數定性分析,給出疾病傳播的關鍵參數基本再生數的表達式,發(fā)現基本再生數小于1時,無病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的,但基本再生數大于1時,其動力學行為依賴于時滯量和非線性發(fā)生率中一個參數,當這些參數取某些值時,唯一的有病平衡點在相空間內部全局漸近穩(wěn)定,而取另一些參數時,唯一的有病平衡點不穩(wěn)定,出現患病人數的周期震蕩現象,并從理論上證明

3、了Hopf分支的存在性,推廣了文獻[112]的工作.
　　 二、我們在文獻[57]工作的基礎上進一步研究了一類具有時滯的HIV-1感染模型的一致持續(xù)生存性和地方病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性,并給出了該模型是一致持續(xù)生存的充要條件和地方病平衡點是全局漸近穩(wěn)定的充分條件,進一步完善了文獻[57]中的結果.
　　 三、不同階段的血吸蟲的發(fā)育時間對血吸蟲的傳播是非常重要的.我們把終宿主群體和釘螺群體分成兩類:易感染者和感染者.同時把

4、不同階段的血吸蟲的發(fā)育時間引入到經典的Barbour模型中,考慮了一個更一般的數學模型,即含有四個時滯的四維模型.我們給出了該模型基本再生數的表達式,并利用模型的不變流形將其化為平面系統(tǒng).當系統(tǒng)不含時滯時,我們給出了平衡點是全局漸近穩(wěn)定的充分條件.當基本再生數大于1時,我們發(fā)現其動力學行為依賴于時滯量,當時滯超過某個臨界值時,唯一的地方病平衡點由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定,產生Hopf分支.
　　 四、首先我們討論了一類具有離散和分布時滯的

5、捕食-食餌模型,給出了正平衡點的漸近穩(wěn)定性和該模型產生Hopf分支的條件.然后,我們在經典的Lotka-Volterra捕食-食餌模型的基礎上將年齡結構引入到捕食種群中且適合Mckendrick-Foerster方程,從而使模型更符合實際.將該模型化為含時滯的系統(tǒng),我們給出了該系統(tǒng)解的正不變性、有界性并得到了其邊界平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分條件.我們發(fā)現當時滯逐漸增大到某個臨界值時該正平衡點將失去穩(wěn)定性,產生Hopf分支并給出了具體公式來