半?yún)⒒貧w模型的兩步回歸估計(jì).pdf_第1頁(yè)
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1、半?yún)?shù)回歸模型是八十年代發(fā)展起來(lái)的一種重要的統(tǒng)計(jì)模型。由于這種模型既含參數(shù)分量,又含非參數(shù)分量??梢愿爬ê兔枋霰姸鄬?shí)際問(wèn)題,因而引起廣泛重視。給定一個(gè)半?yún)?shù)回歸模型,Y<,i>=X<'T><,i>β+g(t<,i>)+β<,i> i=1,2,…,n諸X<,i>為已知p維設(shè)計(jì)向量。β=(β<,1>,…,β<,p>)<'T>是未知向量, g(·)為R<'1>上未知Borel函數(shù)。X<'T><,i>,g(t<,i>)分別稱為該模型的參數(shù)分量與

2、非參數(shù)分量。 在文獻(xiàn)中,關(guān)于半?yún)?shù)回歸的工作大多沿著這樣的思路:第一步先設(shè)β已知,使用標(biāo)準(zhǔn)非參數(shù)回歸方法,基于{t<,i>,Y<,i>一X<'T><,i>β}<'n><,i=1>估計(jì)g,記估計(jì)量為g<,λ>(·,β);第二步再以g<,λ>代g,使用最小二乘法找β的下述極小問(wèn)題的解。而g的最后估計(jì)為g<,λ>(·,β),此處λ是非參數(shù)回歸估計(jì)中的光滑參數(shù)。例如,在核估計(jì)時(shí),λ就是窗寬h。常用的計(jì)算窗寬的方法有: CV方法、風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)

3、和GCV方法。這些方法所選擇的窗寬在各自標(biāo)準(zhǔn)下,都是最優(yōu)窗寬。但是計(jì)算量偏大,且標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一。 非參數(shù)分量g(·)的估計(jì)好壞直接影響參數(shù)β的估計(jì)。因此,非參數(shù)分量g(·)的估計(jì)就顯得尤為重要。但是標(biāo)準(zhǔn)的非參數(shù)回歸估計(jì)沒(méi)有一個(gè)滿意的收斂速度,為了改進(jìn)非參數(shù)估計(jì)的收斂速度,這篇文章結(jié)合了非參數(shù)回歸和參數(shù)回歸,提出了兩步回歸估計(jì): 第一步:準(zhǔn)備好不同窗寬的非參數(shù)回歸作為先驗(yàn)選擇。 第二步:將被選擇的估計(jì)結(jié)合一些參數(shù)回歸技

4、術(shù)形成一種新的估計(jì),同時(shí)獲得包括最優(yōu)窗寬在內(nèi)的最優(yōu)設(shè)計(jì)條件。這樣就避免了使用CV等方法選擇窗寬,減小了計(jì)算量,而且對(duì)于單變量模型,在內(nèi)點(diǎn)處的均方誤差的最優(yōu)收斂速度的階為O(n<'-8/9>)。而現(xiàn)存的一些方法沒(méi)有達(dá)到。通過(guò)模擬,對(duì)新方法在有限樣本下的表現(xiàn)給出評(píng)估并與現(xiàn)存的方法進(jìn)行比較。 在上述給定的半?yún)?shù)回歸模型滿足一定的條件下,得到了本文的主要結(jié)論: 結(jié)論1: 在偏差方面:新估計(jì)g(t)的偏差的階為O(n<'-

5、4/9>),而原來(lái)的估計(jì)g<,h>(t;β)的偏差的階為O(n<'-2/5>),新估計(jì)的漸近偏差小于原來(lái)估計(jì);在方差方面,新估計(jì)和原來(lái)估計(jì)的方差具有相等的漸近階;在均方誤差方面,新估計(jì)的均方誤差的收斂速度為O(n<'-8/9>),而原來(lái)估計(jì)為O(n-<,4/5>)。因此可以得出:新估計(jì)在收斂速度方面較原來(lái)的估計(jì)有很大的改進(jìn)。 結(jié)論2: 通過(guò)兩步估計(jì)的結(jié)果達(dá)到了用最優(yōu)窗寬回歸的結(jié)果,避免了使用CV等方法選擇窗寬,減小了計(jì)算

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