小波在Helmholtz方程和采樣問題中的應用.pdf

1、Helmholtz方程是研究時間調(diào)和聲波散射問題的一個重要方程，它在雷達、聲納、地理探測、醫(yī)療成像和非破壞性試驗等方面有著極其廣泛的應用.將微分方程的數(shù)值計算問題化為積分方程的計算問題是微分方程數(shù)值計算最重要的途徑之一.特別對于無界域問題，由于解在無窮遠處都要滿足散射條件，而將微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程進行計算，不僅可以將問題的維數(shù)降低一維，而且能夠?qū)o界域上的問題轉(zhuǎn)化為有界域上的問題，這便是邊界積分方程方法比有限元法和有限差分法優(yōu)越的原因

2、.本論文主要考慮Helmholtz方程在一些比較典型的無界域問題的數(shù)值解，即在一般外區(qū)域的Dirichlet問題、波導區(qū)域中的Dirichlet問題、上半平面的第三邊值問題的數(shù)值解.為了解決上述問題，我們首先應用位勢理論把它們分別轉(zhuǎn)化為第二類積分方程，然后利用Galerkin方法、配置法和sinc數(shù)值方法來分別求解所對應的積分方程.此外，我們還考慮了Paley-Wiener空間中的非均勻采樣問題.具體來說： 1.為達到矩陣壓縮的

3、目的，我們需要引進兩類小波：插值型三角小波和正交型三角小波，這兩類小波的尺度函數(shù)空間Vj和小波空間Wj都是分別由一個函數(shù)的平移所張成，并且尺度函數(shù)和小波函數(shù)都有顯式表達式.此外，插值型三角小波滿足一些插值性質(zhì)，而正交型三角小波是彼此正交的，這為用配置法和Galerkin法解積分方程提供了兩類比較好的基底. 2.對于Helmholtz方程在一般外區(qū)域Dirichlet問題.我們首先利用位勢理論把該問題歸結(jié)為解一個第二類Fredho

4、lm積分方程，然后用Galerkin方法和正交型三角小波的多尺度基底對這一問題進行求解.不要求在Nystr(o)m方法中的比較強的條件下，即邊界曲線和邊值條件都是解析的，而只要求在邊界曲線屬于C3而邊值條件的已知函數(shù)只要求屬于C1條件下，我們就得到了一種矩陣壓縮策略，從而得到了一個很稀疏的系數(shù)矩陣，其中系數(shù)矩陣的元素大部分不需要計算且為零，實現(xiàn)了快速算法.并且給出了壓縮矩陣的復雜性和條件數(shù)分析以及該算法的收斂率性和穩(wěn)定性分析.所得到截斷

5、后的一個2j+1×2j+1矩陣的復雜度，即非零元素的個數(shù)只有(.j+1).2j+2個，壓縮后的系數(shù)矩陣的條件數(shù)是一致有界的，即條件數(shù)與j無關.而通過矩陣壓縮后的快速算法的收斂速度為O(j2/21/2)(j→∞).此外，我們截斷的方法簡單而具體. 3.關于波導區(qū)域中的Helmholtz方程Dirichlet問題.我們同樣用位勢理論先把該問題轉(zhuǎn)化為解一個第二類Fredho1m積分方程，然后用配置法和插值型三角小波求解該積分方程.我們

6、所得到的剛度矩陣有一半可以截斷，而截斷后的元素的值獨立于核函數(shù)KN(θ，η)的截斷項數(shù)N和Helmholtz方程中的波動數(shù)k.這樣，我們得到了另外一種意義下的快速算法，即該問題中的波動數(shù)k和核函數(shù)KN(θ，η)的截斷項數(shù)N變化時，剛度矩陣有一半元素不需要重新計算，這樣我們得到了若因k和N變化的快速算法. 4.我們利用sinc數(shù)值方法來求解上半平面的Helmholtz方程第三邊值問題的數(shù)值解.首先我們給出了該問題的解的存在性和唯一

7、性的證明，然后用Huygens積分公式和位勢理論把問題歸化為主要求解一個第二類積分方程的數(shù)值解.通過利用多值解析函數(shù)圍道積分方法來把Shannon-Whittaker定理推廣到多值解析函數(shù)的情況，利用此結(jié)論我們得到了該積分方程的數(shù)值解，并且該方法十分簡單——不需要解線性方程組，從而避免了復雜的矩陣運算所帶來的麻煩. 5.在本論文的最后，我們主要考慮改進經(jīng)典Paley-Wiener空間中的非均勻采樣問題的一種方法，即Voronoi

8、方法.Voronoi方法是一種收斂速度比較快的方法，因而改進這種方法具有重要的意義.我們主要有兩方面的工作：一是解決Voronoi方法中重構(gòu)函數(shù)不光滑的問題，即找到一C∞函數(shù)類{bn：n∈Z}代替Voronoi方法中特征函數(shù)類{xn：n∈Z}；二是研究當采樣密度加密m倍時，得到了一個更快重構(gòu)算法，該重構(gòu)算法的收斂速度增長了m倍，即當采樣密度滿足δ=supn∈Z(xn+1-xn)＜1/m，其中m是一大于或等于2的正整數(shù)，那么重構(gòu)算法的收斂