中學向量課程與教學的研究.pdf

1、向量是高中數(shù)學課程的重要內(nèi)容。向量作為一種不同于數(shù)的量，有自己獨特的運算結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)，學習向量有助于發(fā)展學生對“數(shù)、量和運算”的認識。向量幾何提供了一種認識空間和圖形的新方法，使學生初步領(lǐng)略機械化的現(xiàn)代數(shù)學思想。向量是現(xiàn)代數(shù)學的基本概念之一，可以使師生從一種新的角度詮釋許多初等數(shù)學知識，并為學習高等數(shù)學中線性代數(shù)理論奠定基礎(chǔ)。 近幾年，從數(shù)學角度探索向量教與學的研究多是探討技術(shù)進入數(shù)學課程后怎樣影響學生數(shù)學概念的發(fā)展以及解題途徑的

2、產(chǎn)生。向量概念包括方向和大小兩個維度，有幾何圖像和代數(shù)坐標等多種表征方式。這給教學和學生的概念理解都帶來一定困難。向量進入我國高中數(shù)學課程后，引起廣大師生的極大關(guān)注和興趣。但國內(nèi)數(shù)學教育研究領(lǐng)域?qū)ο蛄拷虒W中許多重要而基礎(chǔ)的問題一直缺少實證研究。例如普通高中數(shù)學課程標準中要求學生“理解平面向量概念”，“能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理。”，“體會向量方法在研究幾何問題中的作用”

3、，等等。因此，我們試圖通過對向量教學中四個基本問題的探討來反映當前的現(xiàn)狀和問題。 我們首先以SOLO，APOS等教學理論為基礎(chǔ)檢驗學生對向量概念(幾何圖象和代數(shù)坐標)的理解水平，以及與向量概念有關(guān)的錯誤類型。我們選擇302名高二學生為被試，利用測試卷、訪談、個案研究作為研究工具。研究發(fā)現(xiàn)，對于檢驗向量概念的測試題，有約占總數(shù)22％的學生在幾何圖像方面達到水平4，約占總數(shù)3％的學生在代數(shù)符號方面達到水平4，只有約2％的學生在幾何圖

4、像和代數(shù)符號兩個方面都達到靈活協(xié)調(diào)階段。大多數(shù)學生沒有建構(gòu)自由向量概念。學生更傾向于應(yīng)用向量的幾何圖像表征處理問題。把向量看作一段距離或一個數(shù)是向量錯誤的主要類型。 其次，我們檢驗了用向量法處理立體幾何度量與位置關(guān)系問題的教學效果。以測試卷和調(diào)查表為工具，我們對368名高三學生怎樣處理能用兩種方法(綜合法與向量法)解決的立體幾何(位置關(guān)系與角的度量)問題以及學生對兩種方法特征的認識進行了研究。研究結(jié)果表明：同時用兩種方法處理問題

5、的學生(EV型)人數(shù)最多，僅使用綜合法(E型)的人數(shù)略高于僅使用向量法(V型)的人數(shù)。但V類型學生的解法似乎更有效，成功率高于E類型學生。而且EV類型學生的得分結(jié)果也表明，向量方法的正確率高于綜合法。 我們還分析了兩種錯誤類型——一般性錯誤與向量錯誤。對E類型和EV類型學生來說，一般性錯誤主要出現(xiàn)在邏輯推理方面，其次是技術(shù)性錯誤，誤用題目信息，誤用定理或定義。對于運用向量方法的學生，V類型學生和EV類型學生(應(yīng)用向量法部分)的一

6、般性錯誤類型都是數(shù)學語言轉(zhuǎn)換。向量坐標計算錯誤是向量錯誤的主要類型。對于兩種方法(綜合法與向量法)特征的認識，研究表明學生認為綜合法的最主要優(yōu)點是：綜合法是解決立體幾何問題的基本方法(向量只能處理個別問題)。綜合法的最主要缺點是不會做輔助線以及找不到要求的線或角。學生認為向量法的最主要優(yōu)點是方法簡潔有效，向量法的主要缺點是計算繁瑣易出錯。 第三，我們以皮亞杰的圖式理論為基礎(chǔ)，從知識關(guān)聯(lián)性的角度研究了教師的向量概念。我們以測試卷、

7、訪談、個案研究為工具，對23名教師進行了調(diào)查。結(jié)果表明：大多數(shù)教師不能以一種系統(tǒng)的觀點去看待向量概念及其一些變換，例如，他們對向量概念的理解僅限于教材中的定義——“向量是既有大小又有方向的量”。他們雖然能判斷～個線性方程組有無解，但不能表示出解空間的結(jié)構(gòu)。他們認為復數(shù)、矩陣與向量概念有許多相似，但看不清幾個概念之間的關(guān)系。 第四，我們通過對上海、沈陽和石家莊三地1069位教師的問卷調(diào)查和其后三位教師的訪談，調(diào)查高中教師對向量在高

8、中數(shù)學課程中作用的態(tài)度，教師相關(guān)教學知識的發(fā)展途徑，教師希望進一步培訓的內(nèi)容，等等。結(jié)果表明：立體幾何簡化論和解題方法的多樣性是大多數(shù)教師對向量進入高中數(shù)學課程的基本認識。 最后，我們通過反思和整合各項研究結(jié)果，得出如下結(jié)論：(1)教材和教學沒有重視培養(yǎng)學生的自由向量概念。(2)立體幾何用兩種方法(綜合法和向量法)處理沒有引起學生的思維沖突，但仍受歐氏幾何影響較深。(3)大多數(shù)教師具有的向量知識以程序性經(jīng)驗為主。(4)囿于自身經(jīng)