函數(shù)展開法及同倫分析法在求解非線性演化方程中的應(yīng)用.pdf

1、近年來，對(duì)非線性問題的研究已成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)，非線性科學(xué)也在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域做出了重大貢獻(xiàn)。非線性物理是非線性科學(xué)的一重要組成部分。許多非線性物理現(xiàn)象都可以用非線性方程來很好地描述，所以得到非線性方程的解具有重要的意義。本論文從兩個(gè)方面研究了非線性方程的求解。 1．非線性演化方程的精確解雙曲函數(shù)展開法是近年提出的一種求解非線性演化方程孤立波解的有效方法。我們討論了雙曲函數(shù)展開法，在原有方法的思想基礎(chǔ)上提出展開函數(shù)應(yīng)滿足的2個(gè)

2、條件，擴(kuò)展為“雙函數(shù)展開法”。并且，進(jìn)一步作了改進(jìn)，使其能夠求解一些變系數(shù)演化方程和非平面波方程。 Jacobi橢圓函數(shù)展開法可用來求解非線性演化方程的周期波解。在原法基礎(chǔ)上，我們提出了選擇展開函數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單原則。在此原則指導(dǎo)下，又構(gòu)造出了許多不同的函數(shù)，用它們作為展開函數(shù)可以得到非線性演化方程的更多精確解。 2．非線性演化方程的近似解析解在非線性演化方程的解很難甚至無法得到時(shí)，可以求其近似解。同倫分析法就是求非線性問題

3、近似解的一種行之有效的方法。我們把這種方法用于求解非線性演化方程的周期解，并且首次用于求解非線性演化方程孤立波的近似解析解，結(jié)果表明所得近似解非常接近原方程的精確解。在此基礎(chǔ)上，還提出了一種判斷近似解近似程度的簡(jiǎn)單實(shí)用的方法。 我們首次用這種方法求解了一不可積系統(tǒng)——KdV-Burgers方程，得到了其2種類型(即單調(diào)型激波解和振蕩型激波解)行波解的高精度解析解，表明同倫分析法對(duì)于求解一些不可積系統(tǒng)仍非常有效。 我們所用