求解非線性不適定問題的正則化同倫方法.pdf

1、哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文摘要現(xiàn)在研究的用來求解非線性不適定問題的方法主要有Tikhonov正則化方法和正則化的迭代法。為了得到正則化迭代法的收斂性結(jié)果，往往要對算子加上很強(qiáng)的限制條件。但是現(xiàn)實(shí)問題當(dāng)中又很難驗(yàn)證這些條件。而對Tikhonov正則化方法而言，只需要對算子加上較弱的限制條件，就可以得到方法的收斂性結(jié)果。但是在使用Tikhonov正則化方法的時(shí)候，通常會(huì)遇到兩個(gè)困難:第一，正則化參數(shù)的選取第二，泛函全局極小的計(jì)算。本文主

2、要針對一類有連續(xù)的二階F一導(dǎo)和一階F一導(dǎo)Lipschitz連續(xù)的非線性算子方程，類似于Tikhonov正則化方法，并且利用同倫方法的思想，構(gòu)造了一種求解這類非線性算子方程的正則化同倫方法。在該方法中，構(gòu)造了一個(gè)正則化參數(shù)和同倫參數(shù)相結(jié)合的泛函，用該泛函的全局極小作為算子方程的正則化近似解。本文選擇用最速下降法去求泛函的全局極小。但由于算子是非線性的，從而導(dǎo)致泛函存在一些局部極小。若迭代的初值選擇不恰當(dāng)?shù)脑?，最速下降法可能只收斂到某個(gè)局部

3、極小。為了解決這個(gè)問題，我們用到了同倫方法的思想。該方法有效的解決了在使用Tikhonov正則化方法的時(shí)候遇到的兩個(gè)困難，既解決了正則化參數(shù)的選取問題，又計(jì)算出了在所選擇的正則化參數(shù)下的泛函的全局極小。最后以自卷積算子方程為例，得到的數(shù)值結(jié)果表明本文所構(gòu)造的方法是求解一類有連續(xù)的二階F一導(dǎo)和一階F一導(dǎo)Lipschitz連續(xù)的非線性算子方程的一種穩(wěn)定的方法。關(guān)鍵詞不適定問題非線性正則化同倫哈爾濱工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文第1章緒論1.1不適

4、定問題的來源近些年來，逆問題的理論已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個(gè)發(fā)展最快的領(lǐng)域之一，在醫(yī)學(xué)，物理學(xué)，信號分析中都有重要應(yīng)用。其中反問題的一個(gè)最著名的例子就是醫(yī)學(xué)中用到的計(jì)算機(jī)層析成像技術(shù)，即所謂的CT技術(shù)。Housefield在1972年成功的研制出頭顱X射線斷層攝影技術(shù)裝置，并因此而獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)。許多實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域常導(dǎo)致非線性逆問題(比如參數(shù)識別問題，逆散射問題，逆SturmLiouville問題以及非線性第一類Fredbolm方程的求解問題

5、等等)的束解。何為逆問題，粗略的說，逆問題是相對于正問題而言的。若在兩個(gè)問題中，我們稱一個(gè)問題為正問題，另一個(gè)則稱為逆問題。逆問題通常是不適定的。數(shù)學(xué)家Hadamard曾針對數(shù)學(xué)物理方程中的定解問題提出了適定性的概念。數(shù)學(xué)物理的定解問題是指由微分方程，初始條件及邊界條件構(gòu)成的一個(gè)特定的數(shù)學(xué)問題。如果定解問題滿足如下的三個(gè)條件:1.解的存在性2.解的唯一性3.解對數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性。則稱這個(gè)定解問題是適定的。三個(gè)條件有一個(gè)不滿足，則稱這個(gè)問

6、題是不適定的。這就是我們現(xiàn)在稱之為Hadamard意義下的適定性概念。條件(3)中的“數(shù)據(jù)”是指定解問題中出現(xiàn)的一切已知量，如微分方程中的參數(shù)，初始條件或邊界條件等，這一條的含義是當(dāng)數(shù)據(jù)有微小的擾動(dòng)的時(shí)候，解的變化也很小。定義1.1令XY是Hilbert空間，F(xiàn):D(X)EXY。方程Fx=y稱之適定的，如果以下成立1解得存在性:對每個(gè)YEY，3xeD(X)，使得Fx二Y2.解得唯一性:對方程Fx=y每個(gè)yeY最多有一個(gè)解xeD(X)3.