應用同倫分析方法求解流體力學中若干非線性問題.pdf

1、隨著科學技術的發(fā)展,非線性方程的求解已成為廣大科學工作者經(jīng)常面臨的問題.但構造非線性微分方程的解是既重要又困難的課題,需要靈活高效的數(shù)學工具.近年來,國內(nèi)外的研究者在應用同倫分析方法來求解非線性微分方程方面做了大量的工作,獲得了很多成果.本文在前人研究的基礎上,一方面求解了一些在科學和工程上具有重要意義的問題；另一方面,也為豐富同倫分析方法的內(nèi)容,提供一些重要的實例,以探索同倫分析方法在解決非線性問題時出現(xiàn)的新特點和新現(xiàn)象,進一步發(fā)掘同

2、倫分析方法的潛力. 本文簡要地回顧了非線性問題解析方法,并介紹了同倫分析方法的基本思想.選取了反應擴散、邊界層流動等在科學和工程中都有重要意義的主題,利用同倫分析方法求解了其中一些具有代表性的問題.首先,以一維反應擴散方程--Fisher方程作為研究對象,考察其行波解問題,分別采用順序求解和同步求解兩種方法,首次得到了包括振蕩解在內(nèi)的全部波速的顯式行波解以及解的陡度與波速之間的定量關系,所提的方法可以作為解決具有類似形式的行波解

3、(如沖擊波,扭結波和反扭結波)的非線性方程的一般方法,同時,研究了反應擴散方程的初值問題,并通過引入新的時間變量,獲得了在整個時間域內(nèi)收斂的解. 其次,考察了一些典型的流動和傳熱問題.在第三章,研究了多孔介質(zhì)中垂直平板的自然對流問題,由于采用非相似變換,在邊界層近似下,控制方程仍為偏微分方程且邊界條件中含有變量,應用同倫分析方法首次給出了該問題精確的級數(shù)解,其正確性得到了數(shù)值解的驗證.第四章中,利用同倫分析方法,成功地獲得了不可

4、滲透平板邊界層熱分布問題的雙解,采用漸近分析(主項平衡)法,將Pr數(shù)引入解表達的基函數(shù),獲得了在Pr值很大范圍內(nèi)收斂的級數(shù)解,并討論了各物理參數(shù)對傳熱的影響.接下來的兩章里,主要從方法的角度作了探討.第五章,在同倫分析方法的框架內(nèi),給出了求解具有無窮多解的代數(shù)衰減邊界層的一種新的方法,將解表達原則與流動本身的性質(zhì)聯(lián)系起來,并得出更加合理的多解產(chǎn)生的機理,展示了同倫分析方法解決具有多解的非線性問題的巨大潛力.第六章中,求解了二階非牛頓流體

5、邊界層方程,由于該方程具有較高的階數(shù),對線性算子的選擇提出了新的問題,從效率的角度對此作了討論,給出了線性算子選擇的一新的參考標準.在第七章,考察了旋轉(zhuǎn)流體中的三維非定常流動,經(jīng)過相似分析之后,該問題的控制方程由NS方程變?yōu)閮蓚€完全耦合的非線性偏微分方程組,利用同倫分析方法,給出了該問題在整個時間區(qū)域和空間區(qū)域內(nèi)一致有效的解以及局部摩擦阻力系數(shù)的顯式表達式,并將解析解與數(shù)值方法的結果做了比較. 最后,應用同倫分析方法求解了典型的

6、非線性演化方程--立方薛定諤(NLS)方程的初值問題,這也是同倫分析方法首次求解復值域的非線性偏微分方程.本論文所做的工作充分顯示了同倫分析方法一些顯著的特點,如不依賴于非線性方程中小參數(shù)是否存在,可以有效地控制和調(diào)節(jié)級數(shù)解的收斂區(qū)間和收斂速度.同時突出了同倫分析方法求解非線性問題時的操作方便、適用性廣、靈活度高等優(yōu)點. 此外,同倫分析方法所特有的自由性,可以將物理問題與同倫分析方法更緊密的結合,可以獲得其他解析方法或數(shù)值方法未