幾類風險模型破產概率及其漸近解研究.pdf

1、在風險理論中，目前大多數(shù)學者主要集中在對復合二項模型、Poisson模型和更新模型等三個基本風險模型進行更合乎實際的推廣，比如在模型中推廣賠付過程、推廣保費收入過程以及考慮加入隨機干擾以及利率因素等，然后研究它們的破產概率和Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)等特征量等問題。但是，依然還有一些學者在對上述三個基本模型繼續(xù)進行研究。我們認為，這種研究也是很必要的，因為盡管關于基本模型已經有很長時間的研究歷史而且也取得了很多經典性的成果，但對

2、這些基本模型依然還有許多問題沒有解決，比如在復合二項模型中關于破產概率的顯示解問題和Poisson模型中當賠付隨機變量所服從的分布使得調節(jié)系數(shù)不存在的問題等?？偠灾还苁茄芯客茝V模型還是研究經典模型，都是必要的也是具有重大意義的。 本文不僅對三類基本的風險模型進行了進一步的研究，而且對它們也進行了一些更接近實際的合理推廣。對破產概率、有限時間內生存概率以及 Gerber-shiu 折現(xiàn)懲罰函數(shù)m(x)=E{v<'T>W(R(

3、T-)，|R(T)|)1<,(T-∞)|R(0)=x}等特征量進行了研究，得到了它們的表達式或漸近估計式。 關于復合二項風險模型，本文感興趣的主要是破產概率或生存概率的顯示解和Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)的漸近解。 在完全離散復合二項風險模型下，本文主要是利用過程的馬爾可夫性質，從軌道的分析入手，首先得到賠付間斷時間隨機序列{T<,i>，i=1，2，3，…)和事故發(fā)生時刻的贏余序列{R(U<,i>)，i=1，2，3

4、，…)的聯(lián)合密度其中x<,0>=x是保險公司的初始資本．然后，根據破產時刻肯定是某次事故發(fā)生時刻的特點，就得到了破產概率和有限時間內的生存概率與此同時，幾乎運用同樣的方法和思路，可以得到保險公司在初始資本為x的條件下，生存到時刻t而且在此時刻的贏余資本至少達到M的概率另外，在假設單位時間內收取的保費c=1的模型下，根據過程的馬爾可夫性質，通過破產概率所滿足的瑕疵更新方程，運用概率母函數(shù)方法，得到破產概率具有 Pollazek-Khinc

5、hin 公式。 關于破產概率或Gerber-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)的漸近解，同樣利用過程的馬爾可夫性質，然后運用概率母函數(shù)的方法和有關的更新理論，得到它們所滿足的瑕疵更新方程得到然后在此結果的基礎上，得到了在存在調節(jié)系數(shù)R的條件下的漸近解。 在一般情形的復合二項風險模型下，目前很少有人進行研究，因為在研究方法上，沒有完全離散情形那么方便，概率母函數(shù)的方法失去了其功能。本文同樣首先從過程軌道入手，得到賠付間斷時間隨機序列{T

6、<,i>，i=1，2，3，…)和事故發(fā)生時刻的贏余序列{R(U<,i>)，i=1，2，3，…)的聯(lián)合分布密度函數(shù)關于Poisson風險模型，本文感興趣的是兩個方面，一個方面是當賠付隨機變量屬于分布族S*(v)時破產概率及其局部解的漸近解問題；另外一個方面就是對模型進行推廣，然后在推廣后的模型下研究破產概率以及Gerber-Shiu 折現(xiàn)懲罰函數(shù)。 分布族S*(v)是一類間于輕尾和重尾之間的分布族，當v=0時屬于重尾而當v>0時屬

7、于輕尾。在Poisson風險模型下如果賠付隨機變量屬于重尾分布族，則調節(jié)系數(shù)顯然是不存在的；如果屬于輕尾分布族，調節(jié)系數(shù)可能存在也可能不存在，如今一般都是在假設調節(jié)系數(shù)存在的條件下研究破產概率的問題，然而當賠付雖然屬于輕尾但調節(jié)系數(shù)不存在的情形研究很少。本文在當賠付隨機變量屬于分布族S*(v)而且調節(jié)系數(shù)不存在時，研究破產概率及其局部解的漸近解，得到了破產概率在一般情形的復合二項風險模型下，目前很少有人進行研究，因為在研究方法上，沒有完

8、全離散情形那么方便，概率母函數(shù)的方法失去了其功能。本文同樣首先從過程軌道入手，得到賠付間斷時間隨機序列{T<,i>，i．1，2，3，…)和事故發(fā)生時刻的贏余序列{R(U<,i>)，i1，2，3，…}的聯(lián)合分布密度函數(shù)關于Poisson風險模型，本文感興趣的是兩個方面，一個方面是當賠付隨機變量屬于分布族S*(v)時破產概率及其局部解的漸近解阿題；另外一個方面就是對模型進行推廣，然后在推廣后的模型下研究破產概率以及Gerber-Shiu 折

9、現(xiàn)懲罰函數(shù)。 分布族S*(v)是一類間于輕尾和重尾之間的分布族，當v=0時屬于重尾而當v>0時屬于輕尾。在Poisson風險模型下如果賠付隨機變量屬于重尾分布族，則調節(jié)系數(shù)顯然是不存在的；如果屬于輕尾分布族，調節(jié)系數(shù)可能存在也可能不存在，如今一般都是在假設調節(jié)系數(shù)存在的條件下研究破產概率的問題，然而當賠付雖然屬于輕尾但調節(jié)系數(shù)不存在的情形研究很少。本文在當賠付隨機變量屬于分布族S*(v)而且調節(jié)系數(shù)不存在時，研究破產概率及其局部

10、解的漸近解，得到了破產概率關于Poisson模型的推廣問題，又主要是從三個方面入手，即保費收入過程、賠付過程和帶干擾等三個方面。 關于保費收入過程的推廣主要是在假設保費收入依然是一個Poisson過程的情形下進行了研究，得到了在調節(jié)系數(shù)存在的假設下破產概率公式和賠付服從指數(shù)分布時破產概率的顯示表達式。另外，在假設初始資本和賠付都是取整數(shù)的條件下，得到了破產概率的一般顯示表達式關于賠付過程的推廣，主要是考慮了雖然在充分小的時間內發(fā)

11、生事故的次數(shù)至多一次但在同一事故發(fā)生時刻可能發(fā)生多起賠付的情況以及同時還有采取免賠額等風險規(guī)避措施的情況。如果在同一次事故引起的賠付起數(shù)服從Poisson分布時，本文稱之為復合廣義Poisson模型，通過將模型轉化為經典Poisson模型，得到了破產概率的Pollazek-Khinchin公式，然后在個體賠付服從指數(shù)分布的條件下，給出了破產概率的上下界公式。在上述復合廣義模型的基礎上，如果考慮免賠額等風險規(guī)避制度，本文引入了一類模型，稱

12、之為復合復合Poisson瑕疵幾何風險模型。該模型特點是其賠付計數(shù)過程是一個由Poisson過程和瑕疵的幾何分布復合而成。在此模型下，得到了Gerbez-Shiu折現(xiàn)懲罰函數(shù)滿足的瑕疵更新方程，相應地得到了破產概率所滿足的瑕疵更新方程。另外，基本上基于同樣的背景，毛澤春和劉錦萼(2005)給出了復合Poisson-Geometric風險模型，本文在他們的研究基礎上，得到了破產即刻前贏余與破產時刻赤子的折現(xiàn)懲罰期望函數(shù)滿足如下更新方程，由