分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程的數(shù)值方法及其理論分析.pdf

1、分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程近年來(lái)得到廣泛的興趣和關(guān)注。其主要原因是由于分?jǐn)?shù)階微積分理論自身的迅速發(fā)展，以及其在物理、化學(xué)、生物，環(huán)境科學(xué)，工程以及金融等各類(lèi)學(xué)科中的廣泛應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程為描述不同物質(zhì)的記憶和繼承性質(zhì)提供了強(qiáng)有力的工具。 然而，分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程的解析解是比較復(fù)雜的，多數(shù)解析解都包含了有級(jí)數(shù)形式或特殊函數(shù)。而且，多數(shù)分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程的解不能顯式地得到。這就促使我們必須考慮有效的數(shù)值方法。目前，關(guān)于分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程的數(shù)值方法以及相關(guān)

2、的穩(wěn)定性和收斂性分析相當(dāng)有限，而且很難得到。這些激勵(lì)我們發(fā)展有效的數(shù)值方法解分?jǐn)?shù)階的微分方法。在本論文中，我們考慮兩種類(lèi)型的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程。第一類(lèi)分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程是帶有擴(kuò)散，對(duì)流—擴(kuò)散以及Fokker—Planck類(lèi)型的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程。其數(shù)值方法和理論分析將分別在第二章，第三章和第四章詳細(xì)討論。第二類(lèi)分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程是帶有反常次擴(kuò)散的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程。例如，反常次擴(kuò)散方程，非線性反應(yīng)次擴(kuò)散方程，以及分?jǐn)?shù)階Cable方程。這些方程的數(shù)值方法和理

3、論分析將在第五章，第六章和第七章進(jìn)行討論。所有上面提到的方程已經(jīng)被用于描述受反常擴(kuò)散和非指數(shù)松弛方式控制的復(fù)雜系統(tǒng)中的傳輸動(dòng)力學(xué)。這些分?jǐn)?shù)階方程都可以從基本的隨機(jī)游走和推廣的控制方程中逐步地得到。 第一章，我們總結(jié)了分?jǐn)?shù)階計(jì)算理論的發(fā)展史，本論文討論的問(wèn)題的背景，以及有關(guān)分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程的先前的工作。并給出了我們的研究工作以及論文的結(jié)構(gòu)。 第二章，我們考慮在有界區(qū)域上的空間—時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程。這個(gè)方程是從標(biāo)準(zhǔn)的擴(kuò)散方程中

4、，二階空間導(dǎo)數(shù)由β∈(1，2]階的Riemann—Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)代替，一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)由α∈(O，1]階的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)代替得到。我們研究含有初邊值問(wèn)題的空間—時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的顯式差分格式和隱式差分格式。給出了方法的穩(wěn)定性和收斂性結(jié)論。證明了隱式差分格式的無(wú)條件穩(wěn)定性和收斂性，而顯式差分格式的條件穩(wěn)定性和收斂性。數(shù)值例子顯示了反常擴(kuò)散的性態(tài)。在這一章中，我們還考慮了有限區(qū)域上二維分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程。提出了求解二維空間-

5、時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的隱式差分格式，討論了這個(gè)隱式差分格式穩(wěn)定性和收斂性。一些數(shù)值例子顯示了這些技巧的應(yīng)用。 第三章，我們考慮有限區(qū)域上的空間—時(shí)間分?jǐn)?shù)階對(duì)流—擴(kuò)散方程。這個(gè)方程是從標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)流—擴(kuò)散方程中，一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)由α∈(0，1]階的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)代替，一階和二階空間導(dǎo)數(shù)分別由β∈(0，1]階和γ∈(1，2]階的Riemann—Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)代替得到。我們提出隱式和顯式差分格式。利用數(shù)學(xué)歸納法，證明了這個(gè)

6、隱式差分格式的無(wú)條件穩(wěn)定性和收斂性，而顯式差分格式的條件穩(wěn)定性和收斂性。其數(shù)值結(jié)果和理論分析相符。 第四章，我們考慮有界區(qū)域上的空間-時(shí)間Fokker-Planck方程。這個(gè)方程是從標(biāo)準(zhǔn)的Fokker-Planck中，一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)由α∈(0，1]階的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)代替，二階空間導(dǎo)數(shù)由左Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和右Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)代替得到。我們提出了計(jì)算有效的隱式數(shù)值方法。討

7、論了隱式數(shù)值方法的穩(wěn)定性和收斂性。并給出了數(shù)值例子，這個(gè)數(shù)值結(jié)果與精確解相符。 第五章，我們考慮反常次擴(kuò)散方程。提出了一種新隱式數(shù)值方法和兩種改進(jìn)收斂階的技巧。利用能量不等式證明了這個(gè)新的隱式差分格式的穩(wěn)定性和收斂性。我們給出一些數(shù)值例子。數(shù)值結(jié)果證實(shí)了我們的理論分析。這些方法也可以應(yīng)用于其它類(lèi)型的積分微分方程和高維問(wèn)題。 第六章，我們考慮非線性反應(yīng)一次擴(kuò)散過(guò)程。我們提出了一種新的計(jì)算有效的數(shù)值方法去模擬該過(guò)程。首先，將