空間分數(shù)階對流-擴散方程的數(shù)值解及其應(yīng)用.pdf

1、分數(shù)階微分方程是指方程中含有非整數(shù)階的導(dǎo)數(shù)，它非常有效地描述各種各樣物質(zhì)的記憶和遺傳性質(zhì)，在工程、物理、金融、水文等領(lǐng)域中發(fā)揮了越來越重要的作用。遺憾的是，大多數(shù)分數(shù)階微分方程的解析解都含有復(fù)雜的級數(shù)或者特殊函數(shù)，不利于進行近似計算.于是對分數(shù)階微分方程進行數(shù)值求解變得尤其重要.目前分數(shù)階偏微分方程數(shù)值解的工作皆以拋物型方程為主要研究對象，數(shù)值方法多采用有限差分方法.本文也是采用差分法討論拋物型方程，有所不同的是兩類分數(shù)階微分方程比較復(fù)

2、雜. 本文所討論的第一種拋物型方程是從隨機游走和一種隨機過程的穩(wěn)定分布推導(dǎo)出的Lévy-Feller對流一擴散微分方程，方程中含有較復(fù)雜的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)-Riesz-Feller分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，它含有雙側(cè)分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，并且含有傾斜度參數(shù)，是一種非對稱的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，這使得方程的離散處理起來變得復(fù)雜。 本文所討論的第二種拋物型方程是從滲流問題中推廣得到的高維分數(shù)階對流-擴散方程，分別討論了二維和三維情形的數(shù)值解.如果采用一般的差分方法

3、離散此微分方程，得到的差分方程在計算過程中的計算量非常龐大，因此本文參考整數(shù)階高維情形的處理方法，提出了幾種修正的交替方向法.但是與整數(shù)階方程不同的是，在三維情形中，分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性使得在構(gòu)造差分格式時所添加的攝動項也非常復(fù)雜，由此所構(gòu)造差分格式的理論分析也變得比較復(fù)雜。 第一章討論了本論文的研究背景和意義，總結(jié)了前人所做的工作，給出本論文的研究內(nèi)容和結(jié)構(gòu)。 第二章中首先給出本文中用到的各種分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義及其性質(zhì)，然

4、后從隨機游走和一種隨機過程的穩(wěn)定分布中推導(dǎo)出第三章討論的Lévy－Feller對流一擴散方程；從滲流問題中推導(dǎo)第四章和第五章討論的高維空間分數(shù)階對流-擴散方程。 第三章討論描述服從某種穩(wěn)定分布反常擴散的非對稱空間分數(shù)階對流－擴散方程－Lévy－Feller對流一擴散方程，首先利用Fourier變換和Laplace變換給出方程的基本解，然后利用Griinwald－Letnikov分數(shù)階導(dǎo)數(shù)移位離散算子離散方程中的Riesz-Fel

5、ler分數(shù)階導(dǎo)數(shù)得到離散格式，證明此格式可以解釋為離散隨機游走模型，并且證明了當時間和空間步長以一定的比率同時趨于0時，所提出的離散隨機游走模型收斂到Lévy－Feller對流.擴散過程的穩(wěn)定分布.接下來提出求解有界區(qū)域內(nèi)的Lévy-Feller對流.擴散微分方程的顯式差分格式，并且利用前面隨機游走模型中的結(jié)論證明了顯式格式的穩(wěn)定性和收斂性. 第四章討論帶有不同邊界條件的二維多孔介質(zhì)中兩類分數(shù)階滲流方程的數(shù)值模擬：提出一種修正的

6、交替方向隱格式——分數(shù)階Euler隱格式求解均勻介質(zhì)中的非連續(xù)滲流方程，對所提出的格式進行穩(wěn)定性和相容性分析；提出修正的Peaceman-Rachford格式求解非均勻介質(zhì)中的連續(xù)滲流方程，給出穩(wěn)定性和相容性分析，并且采用Richardson外推技巧，將離散格式的逼近階數(shù)提高到二階。 第五章討論三維多孔介質(zhì)中兩類分數(shù)階滲流方程的數(shù)值模擬：一種是均勻介質(zhì)中的非連續(xù)滲流方程，另一種是非均勻介質(zhì)中連續(xù)滲流方程.提出一種修正的交替方向隱