雙邊分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的高精度和高效數(shù)值方法.pdf

1、分?jǐn)?shù)階微分方程是經(jīng)典整數(shù)階微分方程的推廣.在過(guò)去的二十年里，分?jǐn)?shù)階微分方程被廣泛地用于渦流模擬、經(jīng)典守恒系統(tǒng)混沌動(dòng)力學(xué)，地下水污染物傳輸，以及生物、物理、化學(xué)、金融學(xué)等諸多領(lǐng)域.由于分?jǐn)?shù)階微分方程能夠模擬反常擴(kuò)散現(xiàn)象，能夠捕捉到系統(tǒng)中的非局部效應(yīng)和對(duì)象之間的長(zhǎng)時(shí)間、大范圍相互作用，因此，對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分方程理論和數(shù)值方法的研究越來(lái)越受到來(lái)自工程、控制、應(yīng)用數(shù)學(xué)等領(lǐng)域?qū)W者們的關(guān)注.
　　本文旨在研究雙邊空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的高精度及高效

2、數(shù)值方法.作為科學(xué)計(jì)算和應(yīng)用的強(qiáng)有力工具，有限差分、有限元和譜方法是求解空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的重要數(shù)值方法.然而由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子具有非局部性，要實(shí)現(xiàn)這些數(shù)值方法往往會(huì)導(dǎo)致存儲(chǔ)量很大，計(jì)算代價(jià)高昂.為了克服這一困難，降低存儲(chǔ)量、節(jié)約計(jì)算成本，發(fā)展高精度數(shù)值格式是行之有效的方法之一.這些構(gòu)成了本文研究的重點(diǎn).其次，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子中的奇異核導(dǎo)致了分?jǐn)?shù)階微分方程解的弱奇異性.對(duì)于空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程來(lái)說(shuō)，奇點(diǎn)在邊界處，由此導(dǎo)致了數(shù)值方法無(wú)法獲得較

3、高的精度，這是本文著力解決的另一個(gè)問(wèn)題.
　　首先，在本文中，通過(guò)加權(quán)移位的Grünwald公式結(jié)合緊湊技巧，我們推導(dǎo)出了一個(gè)空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的四階有限差分逼近，研究了有限差商逼近算子的性質(zhì)，隨之將提出的有限差分逼近應(yīng)用到一維和二維空間分?jǐn)?shù)階微分方程的求解中.通過(guò)能量分析方法，證明了所提出的擬緊有限差分格式在L2模意義下無(wú)條件穩(wěn)定與收斂，并且給出一些數(shù)值算例，驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性.
　　其次，通過(guò)外推技巧，提出了一種有效的算

4、法，用于提高求解帶有不光滑解分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題的有限差分格式的精度.我們重新考慮兩種被廣泛應(yīng)用的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的逼近公式，即加權(quán)移位Grünwald格式和分?jǐn)?shù)階中心差分格式，證明了兩種格式在最大模意義下的穩(wěn)定性.基于分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題解的主項(xiàng)奇異性分析，我們提出了加權(quán)移位Grünwald格式和分?jǐn)?shù)階中心差分格式的后處理算法，相比于原有格式得到的數(shù)值解，后處理算法可以取得更高的精度.對(duì)于階次接近于1的分?jǐn)?shù)階微分方程，為了進(jìn)一步提高精度，我們發(fā)展了基于

5、兩次外推的奇異項(xiàng)校正方法.數(shù)值模擬結(jié)果顯示，通過(guò)使用后處理算法，數(shù)值解的精度和收斂率都得到了大幅提高.
　　隨后，我們證明了相比于常規(guī)的Sobolev空間，解在帶權(quán)Sobolev空間的正則性可以得到極大提高.應(yīng)用該正則性，我們證明了譜Galerkin方法的高收斂性.此外，本文提出了譜Petrov-Galerkin方法，并證明了該方法的最優(yōu)誤差估計(jì).我們給出了數(shù)值算例，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了理論預(yù)測(cè)的正確性.
　　最后，我們考慮雙邊分

6、數(shù)階擴(kuò)散方程的變系數(shù)問(wèn)題.通過(guò)乘積的求導(dǎo)法則，我們首先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化并重新表述成一個(gè)帶有低階分?jǐn)?shù)階項(xiàng)的等價(jià)方程，然后基于等價(jià)方程發(fā)展了Galerkin有限元方法.即使對(duì)于大的變系數(shù)問(wèn)題，強(qiáng)制性不再成立，我們?nèi)匀徊捎肎alerkin弱形式.借助于G(a)rding不等式，我們證明了數(shù)值解在適當(dāng)小步長(zhǎng)條件下是唯一可解的.我們對(duì)解提出了合理的正則性假設(shè)，基于此對(duì)于所發(fā)展的Galekin有限元方法進(jìn)行了誤差估計(jì).數(shù)值算例驗(yàn)證了理論結(jié)果的可靠性和正