混合配置的組合與代數(shù)性質(zhì).pdf

1、自從B.Grunbaum在1971年第一次提出超平面配置(hyperplane arrange-ment)的概念以來，世界上的許多數(shù)學(xué)家在組合學(xué)、代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等方面關(guān)于超平面配置的研究已做出了令世人矚目的貢獻(xiàn)。作為超平面配置概念的自然延伸和推廣，子空間配置(subspace arrangement)的概念也隨之很自然地被提出來了。在這里，我們不得不提及如下定理Theorem超平面配置A的補(bǔ)C=Rn\Uti=0Ai的同調(diào)群為Hi(M；Z

2、)≌()X∈L(A)Hn-dim(X)-i-1(△(L(A)>X)，△(L(A)(Rn，X))；Z)其中△一個(gè)映射，它將每個(gè)偏序集映射為其有序復(fù)形，規(guī)定H－1(φ，φ)＝Z.這個(gè)定理是由M.Goresky和R.MacPherson兩個(gè)人證明的，具體的證明過程可以在參考文獻(xiàn)[30]找到。胡毅教授對這個(gè)定理作了更進(jìn)一步的研究。在論文[56]中，他證明了這個(gè)定理不僅對子空間配置成立，而且還對一種更一般的情況一混合配置(mixed arrang

3、ement)成立，所謂的混合配置也就是在子空間配置的基礎(chǔ)上向其中添加球面。這是混合配置概念的第一次出現(xiàn)，當(dāng)然，胡毅教授也是第一個(gè)提出這一概念的人。
　　 本論文主要是關(guān)于混合配置這一數(shù)學(xué)對象的研究。論文分為四章。作為混合配置的出處，我們將在第一章介紹超平面配置和子空間配置。第二章中，我們主要研究混合配置在組合學(xué)方面的性質(zhì).第三章敘述了我們對于混合配置在代數(shù)學(xué)方面所得到一些結(jié)果。最后，我們在第四章中提出了一些暫未完成的問題，和一些

4、猜想。每一章具體的細(xì)節(jié)介紹如下：
　　 在第一章中，我們回顧了超平面配置和子空間配置的研究歷史。我們將介紹一些過去關(guān)于超平面配置和子空間配置在組合學(xué)、代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等領(lǐng)域的所研究的問題、研究方向以及幾個(gè)著名的結(jié)果。同時(shí)，我們還將介紹一些近期在這些領(lǐng)域所做的工作和所取得的成果。
　　 從第二章開始，我們將要探討一種稱之為混合配置的數(shù)學(xué)對象，它是由若干個(gè)超平面或子空間與球面合在一起組成的集合。我們研究了混合配置的交集所構(gòu)成的

5、偏序集，并且借助超平面配置和子空間配置的Mobius函數(shù)計(jì)算出了混合配置的Mobius函數(shù)。除此，利用刪除與限制的方法，我們計(jì)算出了混合配置的三元組之間的遞推關(guān)系式，同時(shí)給出了混合配置的區(qū)域數(shù)與其特征多項(xiàng)式之間的關(guān)系。
　　 在第三章中，我們將研究混合配置的代數(shù)性質(zhì)。我們在混合配置的定義多項(xiàng)式上定義了一種導(dǎo)數(shù)算子，而我們的主要研究對象是一種特殊的混合配置，稱之為自由混合配置。在這一章中，我們證明了對于超平面配置成立的Saito判