反基礎(chǔ)公理的模型研究.pdf

1、在經(jīng)典的公理化集合論系統(tǒng)ZF中，有一條刻畫(huà)集合性質(zhì)的公理。這條公理通常被稱(chēng)作基礎(chǔ)公理、良基公理或正則公理，記作FA。在將FA加入ZF之前，循環(huán)集合在ZF中是否存在是不能斷定的。將FA加入ZF之后，它不但排除了羅素悖論還使得經(jīng)典集合論中的所有對(duì)象都是良基的。同時(shí)，它也排除了滿(mǎn)足循環(huán)條件x∈x和∈-無(wú)窮遞降鏈條件構(gòu)成的集合（這類(lèi)集合被稱(chēng)作非良基集合）。基礎(chǔ)公理FA把ZF的論域限制到整個(gè)良基集合的范圍中。因此，經(jīng)典的公理化集合論系統(tǒng)ZF不能很

2、好地刻畫(huà)循環(huán)現(xiàn)象。然而，循環(huán)現(xiàn)象無(wú)處不在。例如，自然界中白天和黑夜的循環(huán)現(xiàn)象;年復(fù)一年的春、夏、秋、冬四季的循環(huán)現(xiàn)象;交通燈的顏色由紅、黃、綠三色交替的循環(huán)現(xiàn)象。再如，計(jì)算機(jī)科學(xué)中自動(dòng)控制系統(tǒng)和傳遞系統(tǒng)的循環(huán);哲學(xué)中公共知識(shí)的“知道”結(jié)構(gòu)循環(huán);語(yǔ)義學(xué)中說(shuō)謊者悖論的自我指稱(chēng)循環(huán)。為循環(huán)現(xiàn)象或者非良基集合建立模型是20世紀(jì)后期邏輯學(xué)家、數(shù)學(xué)家的一項(xiàng)重要工作。
　　1988年阿克采爾提出了反基礎(chǔ)公理AFA，將ZF中的基礎(chǔ)公理FA替換為反

3、基礎(chǔ)公理AFA得到了非良基集合論系統(tǒng)ZFC-(+)AFA，并為它建立了模型，從而創(chuàng)立了非良基集合理論。由于非良基集合論可以作為循環(huán)現(xiàn)象的模型，因此，它們?cè)谡軐W(xué)、數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、邏輯學(xué)、語(yǔ)言學(xué)以及理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中都具有十分重要的作用。
　　本文在借鑒和吸納國(guó)內(nèi)外研究成果的基礎(chǔ)上，梳理了阿克采爾的非良基集合論的基本理論，討論了非良基集合的外延性。特別的，利用哥德?tīng)柕目蓸?gòu)成模型L，采用阿克采爾的方法，為含有反基礎(chǔ)公理AFA的集合論系統(tǒng)ZF

4、C-+AFA和含有反基礎(chǔ)公理族AFA～的集合論系統(tǒng)ZFC-十AFA～建立了可構(gòu)成模型;此外，在林德斯姆(Lindstrom)工作的基礎(chǔ)上，仍然采用阿克采爾的方法，建立了含有反基礎(chǔ)公理族AFA～的集合論系統(tǒng)ZFC-+AFA～的構(gòu)造模型。這些工作對(duì)豐富集合論理論具有一定的意義，并對(duì)邏輯學(xué)發(fā)展有一定的促進(jìn)作用。
　　總的來(lái)說(shuō)，本文的主要工作包含以下四方面:
　　第一，詳細(xì)的論證了基礎(chǔ)公理FA與反基礎(chǔ)公理AFA之間的關(guān)系，說(shuō)明了FA

5、的局限性，解釋了AFA取代FA的原因，并介紹了AFA產(chǎn)生的過(guò)程。
　　第二，利用典范圖提出了集合全域B中的外延公理，并且系統(tǒng)討論了集合全域V～的外延性問(wèn)題，還列舉了許多例子來(lái)說(shuō)明如何判斷兩個(gè)非良基集合相等的問(wèn)題。另外，給出了五種集合全域之間包含關(guān)系的一個(gè)證明，即WF(∈)A(∈)S(∈)F(∈)B，說(shuō)明了非良基集合全域是標(biāo)準(zhǔn)集合論全域(迭代集合全域WF)的擴(kuò)張。
　　第三，以哥德?tīng)柨蓸?gòu)成公理V=L為基礎(chǔ)，在可構(gòu)成集合全域下，

6、重新定義了裝飾、系統(tǒng)映射、正則互模擬等概念，采用阿克采爾的方法，分別建立了ZFC-+AFA和ZFC-+AFA～的可構(gòu)成模型。當(dāng)正則互模擬～分別取(≌)t和(≌)*時(shí)，就得到了ZFC-+SAFA(將基礎(chǔ)公理FA替換為斯考特的反基礎(chǔ)公理SAFA后的得到的非良基集合論系統(tǒng))和ZFC-+ FAFA(將基礎(chǔ)公理FA替換為費(fèi)思勒的反基礎(chǔ)公理FAFA后的得到的非良基集合論系統(tǒng))的可構(gòu)成模型。
　　第四，在林德斯姆(Lindstr(o)m)為反基