高等數(shù)學緒論

1、◆ 數(shù)學是什么,◆ 高等數(shù)學是什么,◆ 數(shù)學的歷史,◆ 如何學習《高等數(shù)學》,緒 論,★ 恩格斯：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量 關系與空間形式的一門科學。”,從數(shù)學的學科結構看，數(shù)學是模型；從數(shù)學的過程看，數(shù)學是推理與計算；從數(shù)學的表現(xiàn)形式看，數(shù)學是符號；從數(shù)學對人的指導看，數(shù)學是方法論；從數(shù)學的價值看，數(shù)學是工具。,一、數(shù)學是什么？,1）哲學說2）符號說3）科學說4）工具說5）邏輯

2、說6）創(chuàng)新說7）直覺說8）集合說,★ 15種“數(shù)學的定義”,9）結構說（關系說）10）模型說11）活動說12）精神說13）審美說14）藝術說15）萬物皆數(shù)說,——《數(shù)學文化導論》,1、數(shù)學是一種哲學,亞里士多德：“新的思想家把數(shù)學和哲學看作是相同的?！?牛頓在《自然哲學之數(shù)學原理》的序言中說，他把這本書“作為哲學的數(shù)學原理的著作”，“在哲學范圍內(nèi)盡量把數(shù)學問題呈現(xiàn)出來”。,歐幾里得：“點是沒有部分的那種東西；線

3、是沒有寬度的長度?！?——《幾何原本》,★,★,★,————————————————————————————,★伽利略（Galeleo）說：“展現(xiàn)在我們眼前的宇宙像一本用數(shù)學語言寫成的大書，如不掌握數(shù)學符號語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也認識不清?！?★ 1965年獲得了Nobel獎的物理學家費格曼（Richard Fegnman）曾說：“若是沒有數(shù)學語言，宇宙似乎是不可描述的?！薄?Nobel物理學獎獲得者溫伯格（

4、Steven Weinberg）說過：“這是不可思議的，當一個物理學家得到一個思想時，然后卻發(fā)現(xiàn)在他之前數(shù)學家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了?！?2、數(shù)學是一種語言， 一切科學的共同語言,————————————————————————————,F.培根說：“知識就是力量” “數(shù)學是打開科學大門的鑰匙”?！餂]有Maxwell方程就不可能有電磁波理論，就不會有 現(xiàn)代的通訊技術；★沒有Riemann幾何，不可能產(chǎn)生廣義相對

5、論；★沒有Navier-Stokes方程，就不會有流體力學的理論 基礎，也不可能產(chǎn)生航空學；★沒有數(shù)理邏輯和量子力學，就沒有現(xiàn)代的計算機；,3、數(shù)學是一把鑰匙， 一把打開科學大門的鑰匙,———————————————————————————————,★ 諾依曼（Von Neumann）認為：“數(shù)學處于人類智能的中心領域……數(shù)學方法滲透、支配著一切自然科學的理論分支，它已愈來愈成為衡量成就的主要標志?！?/p>

6、,馬克思說：“一門科學只有當它達到能夠成功地運用數(shù)學時，才算真正發(fā)展了?！?★ 人體器官的三維圖像(一維數(shù)學模型) ★ 數(shù)據(jù)壓縮技術(小波分析)★ 數(shù)學在工程學、經(jīng)濟學、管理學、心理學、政治科學諸領域也有重要的作用，產(chǎn)生了很多交叉學科，如 數(shù)理經(jīng)濟學、數(shù)理語言學、數(shù)學心理學、數(shù)學政治科學、對策論等。,4、數(shù)學是一種工具，一種思維的工具,———————————————————————————————,★簡潔美★和諧美

7、★對稱美★奇異美,5、數(shù)學是一門藝術，一門創(chuàng)造性藝術,———————————————————————————————,兩個黑洞的斗爭,分形現(xiàn)象,蝴蝶吸引子,數(shù)學努力的目標是：,將雜亂整理為有序，,使經(jīng)驗升華為規(guī)律，,使復雜演變?yōu)楹唵巍?數(shù)學不僅是一種重要的工具和方法，同時是,,一種思維模式，即“數(shù)學思維”；不僅是一種知識，,而且是一種素質。,結語:,二、數(shù)學的歷史,第一階段：數(shù)學萌芽時期（遠古時代---公元前5世紀）,★形成了數(shù)的概念

8、，,產(chǎn)生了數(shù)的運算方法。,★幾何學有了初步發(fā)展。,第二階段：常量數(shù)學時期 （公元前6、7世紀---17世紀中葉）,★數(shù)學形成了一門獨立的、演繹的科學,★這個時期的基本成果，已構成現(xiàn)在中學數(shù),學課本的主要內(nèi)容。,第一個特征：其所研究的對象是不變的量（常量）,或孤立不變的規(guī)則幾何圖形；,第二個特征：表現(xiàn)在其研究方法上。,既不能把幾何問題用代數(shù)術語陳述出來，也,不能通過計算用代數(shù)方法來解決幾何問題。,初等代數(shù)與初等幾何是互不相關的問題，,▲

9、本階段特征：,如：勻速運動；勻加速運動；直邊圖形；圓弧邊,圖形等,第三階段：變量數(shù)學時期 （17世紀中葉---19世紀中葉）,★笛卡爾的《幾何學》；,恩格斯指出：數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)，有了,變數(shù)，運動進入了數(shù)學；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學；,有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……。,★牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立微積分.,★這個時期的基本成果是解析幾何、微積分、,微分方程等，它們是現(xiàn)今高等院校中的基礎,課程。,第四階段：現(xiàn)代數(shù)學階段

10、 （19世紀至今）,★ 主要分支：非歐幾何、群論、泛函分析、拓撲學、,函數(shù)逼近論、常微分方程定性理論、數(shù)理邏輯等.,1、幾何、代數(shù)、數(shù)學分析變得更為抽象。,2、與其它學科之間相互交叉和滲透，形成了許多,邊緣學科和綜合性學科。,三、高等數(shù)學是什么？,1、高等數(shù)學的涵義,,●廣義——第三階段的主要成果。包括《微積分》、 《解析幾何》、《線性代數(shù)》和《概率論》 等，即大學階段的數(shù)學。,●狹義——《高等數(shù)學

11、》課程。,主要內(nèi)容：極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學、一元函數(shù)積分學、多元函數(shù)微分學、多元函數(shù)積分學、級數(shù)理論、空間解析幾何和簡單微分方程等。,理論基礎：極限理論。,《高等數(shù)學》課程的重要性,高等數(shù)學,其它數(shù)學課程,物理學、天文學、工程技術、管理學、經(jīng)濟學、信息科學……,↓,↓,支持,推動,“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”,例：趣味數(shù)學題,(1) 割圓術：,“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”

12、 ——劉徽,(2) 截丈問題：,(3) s等于多少悖論：,設 則：,(1),(2),(3) s=1-s 解得s=1/2,認為答案為1/2.,主要是當時還沒有級數(shù)收斂的概念.,這個問題據(jù)說曾令眾多大師為難,萊布尼茨都,“飛矢不動”,(4) 芝諾悖論：,“矢”指的是弓箭中的箭。如果我們截取“飛矢”的,靜止的，所以，“飛矢”是“不動”的。,每一個瞬間，它在空中都是“靜止”的。既然

13、每一,個瞬間都是靜止的，所有的瞬間加起來也應該是,“芝諾悖論”的錯誤就在于，他將無窮小徹底等同,于零。,離可以無限地縮小，但永遠追不上烏龜。,芝諾講：阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微,領先于他的烏龜，因為當他要到達烏龜出發(fā)的那,一點，烏龜又向前爬動了。阿基里斯和烏龜?shù)木?“阿基里斯追不上烏龜”,阿基里斯（Achilles）是希臘神話中善跑的英雄。,(4) 芝諾悖論：,2、微積分的涵義,●微積分學是微分學和積分學的總稱。,●它是一種數(shù)學

14、思想：,無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎，,如：子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，,“無限細分”就是微分，“無限求和”就是積分。,它是用一種運動的思想看待問題。,子彈每個瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念,求曲線的長度、區(qū)域的面積、物體的體積等；,微積分是從四個方面的問題來的：,求曲線的切線；,求運動物體的速度；,求一些問題的極大、極小值。,例：圖中陰影的面積、 曲線的長度、 陰影繞坐標軸的旋轉的 立體

15、的體積及表面積。,,,,例. 不規(guī)則圖形面積,,,,,,,,解決問題的思想和方法：,求近似,取極限,微分,積分,3、《高等數(shù)學》課程的作用,Ⅰ. 為其他后續(xù)數(shù)學課程奠定良好的數(shù)學基礎。,《線性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》、,《復變函數(shù)與積分變換》、《數(shù)值分析》等,Ⅱ. 為同學們學習相關基礎課程及本專業(yè)的專業(yè),課程奠定數(shù)學基礎。,《大學物理》、《計算機理論基礎》、,《控制理論基礎》等,Ⅲ. 逐步培養(yǎng)學生應該具有的能力與素質：,①抽象概括問

16、題的能力；,例:(七橋問題) 科尼斯堡有條布勒格爾河上有七座橋，“能否在一次散步中每座橋都走一次，而且只走一次最后又回到出發(fā)點？”,②邏輯推理能力；,例：某外企招考員工的一道題：有三個筐，一個筐里裝著橘子，一個筐里裝著蘋果，一個筐里混裝著橘子和蘋果，裝完后封好。然后做“橘子”、“蘋果”、“混裝”三個標簽，分別貼到上述三個筐上。由于馬虎，結果全貼錯了。請想一個辦法，只許從某一個筐里拿出一個水果，就能夠糾正所有的標簽。 —

17、—《數(shù)學文化》顧沛著，高等教育出版社。,例：微軟公司招考員工的一道面試題： 一個屋子里有50個人，每個人領著一條狗，而這些狗中有一部分病狗。假定有如下條件：a.狗的病不會傳染，也不會不治而愈；b.狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病，只能看別人的狗，從而推理發(fā)現(xiàn)自己的狗是否有??；c.一旦主人發(fā)現(xiàn)自己的狗是一只病狗，就會在當天開槍打死這條狗；d.狗只能由它的主人開槍打死。結果，第一天沒有槍聲，第二天沒有槍聲，……，第十天發(fā)出了一片槍聲，問

18、有幾條狗被打死？ ——《數(shù)學文化》，顧沛著，高等教育出版社。,③空間想象能力；,④自學能力；,⑤比較熟練的運算能力；,⑥綜合運用所學知識去分析問題和解決問題 的能力；,例：證明：①在凸凹不平的地面上，將四條腿 桌子旋轉調(diào)整幾次，一定可以使其放穩(wěn)。 ②金屬環(huán)加熱過程中，環(huán)上必存在具有相同 溫度的關于圓心對稱的兩點.,⑦具有處理數(shù)據(jù)和圖形的能力，重點是加強應用意識和數(shù)學建模的能力；,⑧具有進行邏輯推理和

19、選擇計算方法的能力；,⑨具有判斷計算和推理結果正確性的能力；,例：某公司的一個崗位三年聘期，提供了兩種 薪酬支付方式， A：月薪1000，每月加薪100； B：季薪6000，每季度加薪300， 若你在這個崗位上，請問你選擇哪種支付方式？,四、如何學習高等數(shù)學？,聽懂、練會、考好、用活,1.培養(yǎng)興趣。,興趣是最好的老師！,沒有興趣的學習是痛苦的折磨。,2.多加練習。,聽數(shù)學不如讀“數(shù)學”，讀

20、數(shù)學不如做“數(shù)學”,3.掌握規(guī)律,復習----學習新知識----練習----總結,,學習中要抓住三個問題：基本概念，基本原,理，典型范例。,要求：基本概念要準確； 基本理論要清楚； 基本運算技能要熟練。,博雷爾：數(shù)學是我們確切知道我們在說什么，并肯定我們說的是否對的唯一的一門科學。,4.要勤于思考，勤于提問,康托:數(shù)學的本質在于它的自由。在數(shù)學領域，提出問題的藝術比解決問題的藝術更為重要。