導數(shù)及其應用課件2

1、1．1.3　導數(shù)的幾何意義,理解導數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線方程．,本節(jié)重點：導數(shù)的幾何意義及曲線的切線方程．本節(jié)難點：求曲線在某點處的切線方程．,1．深刻理解“函數(shù)在一點處的導數(shù)”、“導函數(shù)”、“導數(shù)”的區(qū)別與聯(lián)系(1)函數(shù)在一點處的導數(shù)f′(x0)是一個常數(shù)，不是變量．(2)函數(shù)的導數(shù)，是針對某一區(qū)間內任意點x而言的．函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內每一點都可導，是指對于區(qū)間(a，b)內的每一個確定的值x0，都對應著一個確定的

2、導數(shù)f′(x0)．根據(jù)函數(shù)的定義，在開區(qū)間(a，b)內就構成了一個新的函數(shù)，就是函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)．,(3)函數(shù)y＝f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)就是導函數(shù)f′(x)在點x0處的函數(shù)值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.所以求函數(shù)在某一點處的導數(shù)，一般是先求出函數(shù)的導函數(shù)，再計算這點的導函數(shù)值．,2．函數(shù)f(x)在點x0處有導數(shù)，則在該點處函數(shù)f(x)的曲線必有切線，且導數(shù)值是該切線的斜率；但函數(shù)f(x)的曲線在

3、點x0處有切線，而函數(shù)f(x)在該點處不一定可導，如f(x)＝在x＝0處有切線，但它不可導．,1．導數(shù)的幾何意義①割線斜率與切線斜率,,,2．函數(shù)的導數(shù)當x＝x0時，f′(x0)是一個確定的數(shù)，則當x變化時，f′(x)是x的一個函數(shù)，稱f′(x)是f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))．f′(x)也記作y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝ .,[例1]　求函數(shù)y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3處的導數(shù)．[分析]　求函數(shù)在某點處的導數(shù)，

4、一種方法是直接求函數(shù)在該點的導數(shù)；另一種方法是先求函數(shù)在x＝x0處的導數(shù)表達式，再代入變量求導數(shù)值，上一節(jié)已經學過第一種方法．現(xiàn)在我們用第二種方法求解．,(1)點P處的切線的斜率；(2)點P處的切線方程．[分析]　求函數(shù)f(x)圖象上點P處的切線方程的步驟：先求出函數(shù)在點(x0，y0)處的導數(shù)f′(x0)(即過點P的切線的斜率)，再用點斜式寫出切線方程．,[點評]　一般地，設曲線C是函數(shù)y＝f(x)的圖象，點P(x0，y0)是曲線C

5、上的定點，點Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是C上與P鄰近的點，有y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx)，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，,[例3]　在曲線y＝x2上過哪一點的切線，(1)平行于直線y＝4x－5；(2)垂直于直線2x－6y＋5＝0；(3)傾斜角為135°.[分析]　解此類題的步驟為：①先設切點坐標(x0，y0)；②求導函數(shù)f′(x)；③求切線的斜率f′(x0)；④由斜率間的關系列出關于x0的方程，解

6、方程求x0；⑤由于點(x0，y0)在曲線y＝f(x)上，將x0代入求y0，得切點坐標．,[點評]　此類題的易錯之處是將切點的橫坐標代入導函數(shù)來求切點坐標．,直線l：y＝x＋a(a≠0)和曲線C：y＝x3－x2＋1相切．(1)求a的值；(2)求切點的坐標．,[例4]　已知曲線C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，(1)求曲線C上橫坐標為1的點的切線方程；(2)第(1)小題中切線與曲線C是否還有其它公共點？[分析]　(1)關鍵是求出

7、切線斜率k＝f′(1)及切點坐標；(2)將(1)中的切線方程與曲線C聯(lián)立，根據(jù)方程組的解的情況判斷．,＝12x3－6x2－18x.∴切線的斜率為k＝12－6－18＝－12.∴切線方程為y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.,[點評]　此例說明：曲線與直線相切并不只有一個公共點，當曲線是二次曲線時，我們知道直線與曲線相切，有且只有一個公共點，這種觀點對一般曲線不一定正確．,一、選擇題1．曲線y＝－2x2＋1在點(0,1)處

8、的切線的斜率是(　　)A．－4　 　　B．0　 　　C．4　 　　D．不存在[答案]　B,2．曲線y＝x3在點P處的切線斜率為3，則點P的坐標為(　　)A．(－2，－8) B．(1,1)，(－1，－1)[答案]　B,[答案]　B,二、填空題4．拋物線y2＝x與x軸、y軸都只有一個公共點，在x軸和y軸這兩條直線中，只有___________是它的切線，而__________不是它的切線．[答案]　y軸　x軸