導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課件10

1、1．4　生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例,能利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際生活中的最優(yōu)化問(wèn)題．,本節(jié)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際中的最優(yōu)化問(wèn)題．本節(jié)難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立函數(shù)模型．,1．解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要把問(wèn)題中所涉及的幾個(gè)變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式，這需要通過(guò)分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成，函數(shù)的最值要由 和 確定，當(dāng)定義域是且函數(shù)只有一個(gè)時(shí)，這個(gè) 也就是它的 ．2．生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率

2、最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為．通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道是求函數(shù)最大(小)值的有力工具，運(yùn)用 可以解決一些生活中的 ．,極值,端點(diǎn)的函數(shù)值,開區(qū)間,極值,極值,最值,優(yōu)化問(wèn)題,導(dǎo)數(shù),導(dǎo)數(shù),優(yōu)化問(wèn)題,[例1]　在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？,[分析]　根據(jù)所給幾何體的體積公式建模．[解析]　設(shè)

3、箱高為xcm，則箱底邊長(zhǎng)為(60－2x)cm，則得箱子容積V是x的函數(shù)，V(x)＝(60－2x)2·x(00，當(dāng)10<x<30時(shí)，V′(x)<0.,∴當(dāng)x＝10時(shí)，V(x)取極大值，這個(gè)極大值就是V(x)的最大值．答：當(dāng)箱子的高為10cm，底面邊長(zhǎng)為40cm時(shí)，箱子的體積最大．[點(diǎn)評(píng)]　在解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么只需根據(jù)實(shí)際意義判定是最大值還是最小值．不必再與端點(diǎn)的函數(shù)

4、值進(jìn)行比較．,[例2]　有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。?[分析]　根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變?cè)?，?gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)求導(dǎo)的

5、方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點(diǎn)C的位置．,[解析]　解法1：根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)xkm，則∵BD＝40，AC＝50－x，令y′＝0，解得x＝30.當(dāng)00.,因此函數(shù)在x＝30(km)處取得最小值，此時(shí)AC＝50－x＝20(km)．∴供水站建在A，D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最?。?[點(diǎn)評(píng)]　解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問(wèn)題

6、情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把問(wèn)題的主要關(guān)系近似化、形式化、抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，再劃歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解．對(duì)于這類問(wèn)題，學(xué)生往往忽視了數(shù)學(xué)語(yǔ)言和普通語(yǔ)言的理解與轉(zhuǎn)換，從而造成了解決應(yīng)用問(wèn)題的最大思維障礙．運(yùn)算不過(guò)關(guān)，得不到正確的答案，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法不理解或理解不透徹，則找不到正確的解題思路，在此需要我們依據(jù)問(wèn)題本身提供的信息，利用所謂的動(dòng)態(tài)思維，去尋求有利于問(wèn)題解決的變換途徑和方法，并從中進(jìn)行一番選擇．,[分析

7、]　根據(jù)題意，月收入＝月產(chǎn)量×單價(jià)＝px，月利潤(rùn)＝月收入－成本＝px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函數(shù)關(guān)系式建立數(shù)學(xué)模型后再利用導(dǎo)數(shù)求最大值．,答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為315萬(wàn)元．[點(diǎn)評(píng)]　建立數(shù)學(xué)模型后，注意找準(zhǔn)函數(shù)的定義域，這是此類題解答過(guò)程中極易出錯(cuò)的地方．,一、選擇題1．曲線y＝ln(2x－1)上的點(diǎn)到直線2x－y＋3＝0的最短距離為(　　)[答案]　A,2

8、．以長(zhǎng)為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為(　　)A．10 B．15 C．25 D．50[答案]　C,3．用總長(zhǎng)為6m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面的相鄰兩邊長(zhǎng)之比為34，那么容器容積最大時(shí)，高為(　　)A．0.5m B．1m C．0.8m D．1.5m[答案]　A,二、填空題4．如圖所示，一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗

9、戶面積一定，窗戶周長(zhǎng)最小時(shí)，x與h的比為________．[答案]　1∶1,5．設(shè)某銀行中的總存款與銀行付給存戶的利率的平方成正比，若銀行以10%的年利率把總存款的90%貸出，同時(shí)能獲得最大利潤(rùn)，需要支付給存戶的年利率定為________．[答案]　6%[解析]　設(shè)支付給存戶的年利率為x，銀行獲得的利潤(rùn)y是貸出后的收入與支付給存戶利息的差，即y＝kx2×0.9×0.1－kx2·x＝0.09

10、kx2－kx3(x>0)，y′＝0.18kx－3kx2，由y′＝0，得x＝0.06或x＝0(舍去)．當(dāng)x∈(0,0.06)時(shí)，y′>0，當(dāng)x∈(0.06，＋∞)時(shí)，y′<0，故當(dāng)x＝0.06時(shí)，y取最大值．,三、解答題6．如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(即圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告的高與

11、寬的尺寸(單位：cm)，能使矩形廣告面積最??？[解析]　設(shè)廣告的高和寬分別為xcm，ycm，,當(dāng)x＝140時(shí)，y＝175.即當(dāng)x＝140，y＝175時(shí)，S取得最小值24500，故當(dāng)廣告的高為140cm，寬為175cm時(shí)，可使廣告的面積最小．,令S′>0得x>140，令S′<0得20<x<140.∴函數(shù)在(140，＋∞)上單調(diào)遞增，在(20,140)上單調(diào)遞減，∴S(x)的最小值為S(140)