工程電磁場原理第2章3-倪光正

1、第2章 靜電場,2.5.1 數(shù)學(xué)模型——邊值問題,? 偏微分方程的定解問題? 數(shù)學(xué)物理方程的定解問題,以電位函數(shù) ? 為待求場函數(shù)，對應(yīng)的邊值問題,? 泛定方程——基于??r?的場的規(guī)律性的描述； ? 定解條件——由給定工程物理問題所決定的場域邊界上的邊界條件。,,1.泛定方程,,泊松方程,拉普拉斯方程,—拉普拉斯算子,代入,,共性泛定方程,泛定方程——泊松方程或拉普拉斯方程,泊松方程和拉普拉斯方程都屬一元二次線性偏微分方程。這類偏

2、微分方程的定解條件是在方程定義域（場域）的邊界上給定的邊界條件（邊值）。,2.邊值問題—— 滿足給定邊界條件(邊值)的泊松或拉氏方程的定解問題。,定解條件——邊界條件(邊值),Ⅰ 給定的是場域邊界 S 上的電位值,第一類邊界條件,Ⅱ 給定的是場域邊界 S 上電位的法向?qū)?shù)值,例：導(dǎo)體表面,齊次第二類邊界條件,第二類邊界條件,場域V 邊界S 上的邊界條件，也稱為該邊界S 上的邊值，可給定為以下三種類型：,Ⅲ 給定的是場域邊界 S

3、上的電位及其法向?qū)?shù)的線性組合，即,第三類邊界條件,泛定方程與相應(yīng)的定解條件，將邊值問題(BVP) 分類為 第一類邊值問題（1st BVP）也稱為狄利克雷(Dirichlet)問題； 第二類邊值問題（2nd BVP）也稱為諾伊曼(Neumann)問題； 第三類邊值問題（3rd BVP）也稱為柯西(Cauchy)問題。,討論：,? 通常，當邊界S =S1+S2+…，且逐片分別給定為1st BC 與2nd BC

4、時，則稱之為由混合型 BC 構(gòu)造的邊值問題；,? 當場域D中存在多種均勻介質(zhì)時，務(wù)須分域定義：,且此時，作為定解條件，尚應(yīng)引入不同媒質(zhì)分界面上的BC 為“銜接條件”，或稱之為輔助的BC ，即,? 當場源分布在離坐標原點的有限距離內(nèi)，而場域 D 擴展至無限遠處時，則應(yīng)給定無限遠處的 BC為,2.5.2 直接積分法,當待求場函數(shù) 僅是一個坐標變量的函數(shù)時， 邊值問題即簡約為常微分方程的定解問題，可直接運用積分法求得。,例2-11，例2-12

5、 自學(xué),2.5.4 靜電場解的唯一性,泛定方程（數(shù)學(xué)物理方程）的解應(yīng)滿足：①存在性、 ②穩(wěn)定性、 ③唯一性,①存在性 靜電場客觀存在，因此 有解；②穩(wěn)定性 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明的解穩(wěn)定；③唯一性 ？,2.5.4 靜電場解的唯一性,,里邊有n個導(dǎo)體,2024/3/19,,13,2.5.4 靜電場解的唯一性,2024/3/19,,14,2.5.4 靜電場解的唯一性,,2024/3/19,,15,2.5.4 靜電場解的唯一性,,,2024

6、/3/19,,16,2.5.4 靜電場解的唯一性,2.5.4 靜電場解的唯一性,唯一性的意義在于：求解位場時，不論采用哪一種解法，只要所求的場域內(nèi)場源分布不變，給定的邊界條件不變，就可確信解答是正確的。,唯一性是鏡像法的理論基礎(chǔ)。,不清楚自由電荷（束縛電荷）的分布，無法應(yīng)用疊加方法求取電場,,,,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,導(dǎo)體，自由電荷,介質(zhì)，束縛電荷,點電荷,-,但當界面開關(guān)比較規(guī)則（如平面、球面

7、等）時，基于唯一性定理，可以采用鏡像法求解。,鏡像法：用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。,鏡像法應(yīng)用的理論基礎(chǔ)——靜電場解的惟一性定理,鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點： a. 鏡像電荷的確定（位置、個數(shù)、電量大?。?； b. 等效求解的“有效區(qū)域” 。,2.6

8、鏡像法,點電荷—接地導(dǎo)板系統(tǒng),2.6鏡像法,原問題(點電荷—接地導(dǎo)板系統(tǒng)),2.6鏡像法,被考察問題(一對正、負電荷的電場問題),2.6鏡像法,設(shè)：兩者的電位函數(shù)解分別為?1、?2,(1) 在同樣由s1，s2圍成的場域D內(nèi)（上半空間），均滿足 ?2?1 = 0 和 ?2?2 = 0 (2) 關(guān)于邊界面上邊界條件的分析：,? 邊界面S1上的 BC：,2.6鏡像法,對原問題：,對被考察問