導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義,一、復(fù)習(xí),1、導(dǎo)數(shù)的定義,其中：,其幾何意義是 表示曲線上兩點(diǎn)連線（就是曲線的割線）的斜率。,,,,P,,,,相切,相交,再來(lái)一次,,,,,,P,Pn,,,,,,割線,切線,T,當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線.,,切線,,能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的切線：直線與曲線有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫曲線過(guò)該點(diǎn)的切線？如果能，請(qǐng)說(shuō)明理由；如

2、果不能，請(qǐng)舉出反例。,,不能,直線與圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做圓的切線。,所以，不能用直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)定義曲線的切線。,,,圓的切線定義并不適用于一般的曲線。 通過(guò)逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點(diǎn)可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。,,,,,,,,M,△x,,△y,,,割線與切線的斜率有何關(guān)系呢？,,,即：當(dāng)△x→0時(shí)，割線PQ的斜率的極限，就是曲線在點(diǎn)P處的切

3、線的斜率，,,,函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線 y=f(x)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0)) 處的切線的斜率是 .,故曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0 ,f(x0))處的切線方程是:,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,例1:,,,,,,求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.,導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,（1）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率

4、 ，得到曲線 在點(diǎn)(x0,f(x0))的切線的斜率。,（2）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，即,求切線方程的步驟：,小結(jié):,練習(xí):如圖,已知曲線 ,求: (1)點(diǎn)P處的切線的斜率; (2)點(diǎn)P處的切線方程.,即點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.,(2)在點(diǎn)P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,練：設(shè)f(

5、x)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足條件 , 求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率.,故所求的斜率為-2.,導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,,,,,,,,,Q2,Q3,Q4,T,繼續(xù)觀察圖像的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，還有什么發(fā)現(xiàn)？,,,,,,,,h,t,o,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,結(jié)論：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義， 當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，說(shuō)明在這點(diǎn)的附近曲線是上升

6、的，即函數(shù)在這點(diǎn)附近是單調(diào)遞增； 當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，說(shuō)明在這點(diǎn)的附近曲線是下降的，即函數(shù)在這點(diǎn)附近是單調(diào)遞減； 當(dāng)某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零時(shí)，說(shuō)明是函數(shù)的最值點(diǎn)。,二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,（3）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù) 在x=x0處的函數(shù)值，即 。這也是 求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。,小結(jié):,（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

7、，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的, 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 。,（1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè) 常數(shù)，不是變數(shù)。,弄清“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。,看一個(gè)例子:,練習(xí):如圖,已知曲線 ,求: