二次函數(shù)y=ax^的圖像與性質(zhì)

1、27.2 二次函數(shù)的圖像(1),一、正比例函數(shù)y=kx（k ≠ 0）其圖象是什么。,二、一次函數(shù)y=kx+b（k ≠ 0）其圖象又是什么。,正比例函數(shù)y=kx（k ≠ 0）其圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線。,一次函數(shù)y=kx+b（k ≠ 0）其圖象也是一條直線。,三、反比例函數(shù) （k ≠ 0）其圖象又是什么。,反比例函數(shù) （k ≠ 0）其圖象是雙曲線。,知識(shí)回顧,學(xué)科網(wǎng),二次函數(shù)y=ax&#

2、178;+ bx+c（a ≠ 0）其圖象又是什么呢？。,二次函數(shù)y=ax2的圖像,探究新知,1、你會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y=x2的圖象嗎?,9,4,1,1,0,4,9,解：列表,Z.x.x. K,描點(diǎn),連線,,,,,,,,,,y=x2,二次函數(shù)y=x2的圖象形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過(guò)的路線,我們把它叫做,這條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱,y軸就 是它的對(duì)稱軸.,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).,,,拋物線,Zx.

3、xk,,,,,,,當(dāng)a>0時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)(x<0)時(shí),y隨著x的 增大而減小.,,,,,,,,,當(dāng)a>0時(shí)，在對(duì)稱軸的 右側(cè)(x>0)時(shí), y隨著x的 增大而增大.,觀察拋物線y= x2 的圖像可知：當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口 ，對(duì)稱軸 在對(duì)稱軸的 左側(cè)(x0)時(shí), y隨著x的 增大而 . 頂點(diǎn) 是它的最

4、 點(diǎn),當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y的值最 ,最小值是 .,,,,向上,y軸,減小,增大,（0，0）,低,小,0,2、描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y=-x2的圖象,做一做,,你能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出猜想嗎？,解：列表,,,x,y,0,,,,,,,,,,,,,,,,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,描點(diǎn),連線,,,,,,,,,,y=-x2,Zx.xk,,,,,,,,,,,,,,,當(dāng)x&l

5、t;0 (在對(duì)稱軸的左側(cè))時(shí),y隨著x的增大而增大.,當(dāng)x>0 (在對(duì)稱軸的右側(cè))時(shí), y隨著x的增大而減小.,,y,觀察拋物線y= -x2 的圖像可知：當(dāng)a0)時(shí), y隨著x的 增大而 . 頂點(diǎn) 是它的最 點(diǎn),當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y的值最 ,最大值是 .,,,,向下,y軸,增大,減小,（0，0）,高,大,0,做一做,3、在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=x2與y=-x2的圖

6、象,觀察并比較這兩個(gè)圖像，它們有什么共同點(diǎn)？又有什么區(qū)別？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x,y=x2,y= - x2,...,...,...,...,...,...,0,-2,-1.5,-1,-0.5,1,1.5,0.5,2,0,0.25,1,2.25,4,0.25,1,2.25,4,,,,,,,,,,,,,,,,,用光滑曲線連結(jié)時(shí)要自左向右順次連結(jié),,0,-0.25,-1,-2.25,-4,-0.25,-1,-

7、2.25,-4,注意：列表時(shí)自變量取值要均勻和對(duì)稱。,,,,,,,,,共同點(diǎn)：,不同點(diǎn)： y=x2的圖象開(kāi)口 ，頂點(diǎn)是拋物線的 ，在對(duì)稱軸的左邊，曲線自左向右 ； 在對(duì)稱軸的右邊，曲線自左向右 ． y=-x2 的圖象開(kāi)口 ，頂點(diǎn)是拋物線的 ，在對(duì)稱軸的左邊，曲線自左向右 ；在對(duì)稱軸的右邊，曲線自左向右

8、 ．,比較二次函數(shù)y=x2與y=-x2的相同點(diǎn)與不同點(diǎn),,,,都是一條 ，都以 為對(duì)稱軸，頂點(diǎn),,拋物線,y軸,(0、0）,向上,最低點(diǎn),下降,上升,向下,最高點(diǎn),上升,下降,Zx.xk,1、當(dāng)a>0時(shí)，二次函y＝ax2(a≠0)開(kāi)口 ,對(duì)稱軸為 軸（直線x=0）有最 點(diǎn)。及x= ，y最小= 2、當(dāng)a&l

9、t;0時(shí)，二次函y＝ax2(a≠0)開(kāi)口 ,對(duì)稱軸為 軸（直線x=0）有最 點(diǎn)。及x= ，y最大=,1、自變量X取全體實(shí)數(shù)2、當(dāng)a>0時(shí)，X>O,y隨x增大而 ，XO,y隨x增大而 , X<O,y隨x增大而 3、圖像過(guò)頂點(diǎn) 且當(dāng)X= 時(shí)y=

10、 是圖像最值。,二次函數(shù)y=ax2的圖像與性質(zhì),歸納,圖像特點(diǎn)：,性質(zhì)：,,,,,向上,y,低,0,0,向下,y,高,0,0,增大,減小,減小,增大,(0、0）,0,0,1、在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出下列函數(shù)的圖象：（1）y=3x2 （2）,做一做,2、根據(jù)上題所畫(huà)的函數(shù)圖像填空：(1)拋物線y=3x2的對(duì)稱軸是 , 頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,在對(duì)稱軸 側(cè),y隨著x

11、的增大而增大；在對(duì)稱軸 側(cè),y隨著x的增大而減小,當(dāng)x= 時(shí),函數(shù)y的值最小,最小值是 ,當(dāng)x ，拋物線y=3x2在x軸的 方,(2)拋物線 開(kāi)口向 ，除頂點(diǎn)外 ，拋物線的點(diǎn)都在x軸的 方,在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的 ；在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨著x的 ,當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y的值最

12、大,最大值是 , 當(dāng)x 0時(shí),y<0.,,做一做,3、不畫(huà)圖象，說(shuō)出拋物線,的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和開(kāi)口方向。,和,談收獲:,1.二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像是一條拋物線.,2.圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).,3.當(dāng)a>0時(shí),拋物線的開(kāi)口向上,頂點(diǎn)是拋物線上的最低點(diǎn);當(dāng)a<0時(shí),拋物線的開(kāi)口向下,頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn).,,,,,,,當(dāng)a>0時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨

13、著x的增大而減小。,,,,,,,,,當(dāng)a>0時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而增大。,,,,,,,,,,,,,當(dāng)a<0時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨著x的增大而增大。,當(dāng)a<0時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而減小。,,,,,,,,畫(huà)一畫(huà),在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=3x2和y=-3x2的圖象,做一做,在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=2x2和y=-2x2的圖象，觀察并比較這兩個(gè)圖像，它們有什么共同點(diǎn)？又有什么區(qū)別

14、？,0,0.5,2,4.5,8,0.5,2,4.5,8,列表參考,0,0.5,2,4.5,8,0.5,2,4.5,8,0,1.5,-6,1.5,-6,二次函數(shù)y=ax2的圖象形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過(guò)的路線，我們把它叫做拋物線。,,,,這條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，y軸就是它的對(duì)稱軸。,這條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，y軸就是它的對(duì)稱軸。,這條拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，y軸就是它的對(duì)稱軸。,,,,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。,對(duì)稱軸與拋

15、物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。,,（0，0）,（0，0）,,y軸,y軸,,,,在x軸的上方（除頂點(diǎn)外）,,,,,,在x軸的下方（除頂點(diǎn)外）,向上,向下,當(dāng)x=0時(shí)，最小值為0。,當(dāng)x=0時(shí)，最大值為0。,二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì),１、頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸,２、位置與開(kāi)口方向,３、增減性與極值,,,,,2、練習(xí)2,在同一坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y=x2與拋物線 y= -x2的位置有什

16、么關(guān)系？ 如果在同一坐標(biāo)系內(nèi) 畫(huà)函數(shù)y=ax2與y= -ax2的圖象，怎樣畫(huà)才簡(jiǎn)便？,,答：拋物線拋物線y=x2與拋物線 y= -x2 既關(guān)于x軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。只要畫(huà)出y=ax2與y= -ax2中的一條拋物線，另一條可利用關(guān)于x軸對(duì)稱或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱來(lái)畫(huà)。,例1、已知二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,-3).(1)求a的值，并寫(xiě)出這個(gè)二次函數(shù)的解析式.(2)說(shuō)出這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)

17、坐標(biāo)、對(duì)稱軸、開(kāi)口方向和圖像的位置.,駛向勝利的彼岸,練習(xí)一、已知拋物線y=ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，-8）。 （1）求此拋物線的函數(shù)解析式； （2）判斷點(diǎn)B（-1，- 4）是否在此拋物線上。 （3）求出此拋物線上縱坐標(biāo)為-6的點(diǎn)的坐標(biāo)。,解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a= -2, 所求函數(shù)解析式為 y= -2x2.,（2）因?yàn)?

18、 ，所以點(diǎn)B（-1 ，-4）不在此拋物線上。,（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, 所以縱坐標(biāo)為-6的點(diǎn)有兩個(gè)，它們分別是,,y=-2x2,,,,,駛向勝利的彼岸,練習(xí)二、若拋物線y=ax2 （a ≠ 0），過(guò)點(diǎn)（-1，3）。 （1）則a的值是 ； （2）對(duì)稱軸是 ，開(kāi)口

19、 。（3）頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ，頂點(diǎn)是拋物線上的 。 拋物線在x軸的 方（除頂點(diǎn)外）。,1.拋物線y=ax2的頂點(diǎn)是原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸.,2.當(dāng)a>0時(shí)，拋物線y=ax2在x軸的上方(除頂點(diǎn)外),它的開(kāi)口向上,并且向上無(wú)限伸展； 當(dāng)a<0時(shí),拋物線y=ax2在x軸的下方(除頂點(diǎn)外),它的開(kāi)口向下,并且向

20、下無(wú)限伸展.,3.當(dāng)a>0時(shí),在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減?。辉趯?duì)稱軸右側(cè),y隨著x的增大而增大.當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)y的值最小. 當(dāng)a<0時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨著x增大而減小,當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y的值最大.,二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì),歸納,例1 在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù) 的圖象．,解：分別填表，再畫(huà)出它們的圖

21、象，如圖,8,4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,8,4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,函數(shù) 的圖象與函數(shù) y=x2 的圖象相比，有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？,相同點(diǎn)：開(kāi)口都向上，頂點(diǎn)是原點(diǎn)而且是拋物線的最低點(diǎn)，對(duì)稱軸是 y 軸,不同點(diǎn)：a 要越大，拋物線的開(kāi)口越?。?你畫(huà)出的圖

22、象與圖中相同嗎？,－8,－4.5,－2,－0.5,0,－8,－4.5,－2,－0.5,－8,－4.5,－2,－0.5,0,－8,－4.5,－2,－0.5,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對(duì)比拋物線，y=x2和y=－x2.它們關(guān)于x軸對(duì)稱嗎？一般地，拋物線y=ax2和y=－ax2呢？,一般地，拋物線 y=ax2 的對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)．當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，a越大，拋物線的開(kāi)口越小；當(dāng)

23、a<0時(shí)，拋物線的開(kāi)口向_______,頂點(diǎn)是拋物線的最________點(diǎn)，a越大，拋物線的開(kāi)口越_________．,下,高,大,二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì),開(kāi)口向上,開(kāi)口向下,a的絕對(duì)值越大，開(kāi)口越小,關(guān)于y軸對(duì)稱,頂點(diǎn)坐標(biāo)是原點(diǎn)（0，0）,頂點(diǎn)是最低點(diǎn),頂點(diǎn)是最高點(diǎn),在對(duì)稱軸左側(cè)遞減在對(duì)稱軸右側(cè)遞增,在對(duì)稱軸左側(cè)遞增在對(duì)稱軸右側(cè)遞減,,,,課本P 7練習(xí)：1、2、3、4,作業(yè)：,知識(shí)回顧,1、二次函數(shù)的一般形式是怎樣的？

24、,y=ax²+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠ 0),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x,y=x2,y= - x2,...,...,...,...,...,...,0,-2,-1.5,-1,-0.5,1,1.5,0.5,2,函數(shù)圖象畫(huà)法,列表,,描點(diǎn),,連線,0,0.25,1,2.25,4,0.25,1,2.25,4,描點(diǎn)法,,,,,,,,,,,,,,,,,用光滑曲線連結(jié)時(shí)要自左向右順次連結(jié),,0,-0.2