排列組合專題

1、解答排列組合問題，首先必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析，同時(shí)還要注意講究一些策略和方法技巧。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一、合理分類與準(zhǔn)確分步法(利用計(jì)數(shù)原理)解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。例1、五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙

2、不在排尾，不同的排法有(）A120種B96種C78種D72種分析：由題意可先安排甲，并按其分類討論：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有P(44)=24種排法；2）若甲在第二，三，四位上，則有C(31)C(31)P(33)=54種排法，由分類計(jì)數(shù)原理，排法共有78種，選C。解排列與組合并存的問題時(shí)，一般采用先選（組合）后排（排列）的方法解答。例2、4個(gè)不同小球放入編號為1，2，3，4的四個(gè)盒中，恰有一空盒的方法有多少種？分析：因恰有一空

3、盒，故必有一盒子放兩球。1）選：從四個(gè)球中選2個(gè)有C(42)種，從4個(gè)盒中選3個(gè)盒有C(43)種；2）排：把選出的2個(gè)球看作一個(gè)元素與其余2球共3個(gè)元素，對選出的3盒作全排列有P(33)種，故所求放法有C(42)C(43)P(33)=144種。二、特殊元素與特殊位置優(yōu)待法對于有附加條件的排列組合問題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。例3、用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（

4、）。A24個(gè)B。30個(gè)C。40個(gè)D。60個(gè)[分析]由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時(shí)，有P(42)=12個(gè)，2）0不排在末尾時(shí)，則有C(21)C(31)C(31)=18個(gè)，由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù)30個(gè)，選B。例4、馬路上有8只路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能

5、關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？例8、方程abcd=12有多少組正整數(shù)解？分析：建立隔板模型：將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，對應(yīng)為a、b、c、d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C(113)=165。例9、把10本相同的書發(fā)給編號為1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室，每個(gè)閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)？

6、解：先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書；再對余下的7本書進(jìn)行分配，保證每個(gè)閱覽室至少得一本書，這相當(dāng)于在7本相同書之間的6個(gè)“空檔”內(nèi)插入2塊隔板共有C(62)=15種插法。又如六個(gè)“優(yōu)秀示范員”的名額分配給四個(gè)班級，有多少種不同的分配方法？經(jīng)過轉(zhuǎn)化后都可用此法解。七、分排問題“直排法”把幾個(gè)元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其它的特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理。例9、7個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則

7、不同的坐法有多少種？分析：7個(gè)人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有P(77)=5040種。八、構(gòu)造方程或不等式例10：某賽季足球比賽的記分規(guī)則是：勝一場得3分；平一場得1分；負(fù)一場得0分。一球隊(duì)打完15場積33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平情況共有（）A.3種B.4種C.5種D.6種解析：設(shè)該隊(duì)勝x場，平y(tǒng)場，則負(fù)(15xy)場，由題意得3xy=33y=333x(0≤x≤11且xy≤15)因此，

8、有以下三種情況：x=11y=0或x=10y=3或x=9y=6故選A例12、把一張20元面值的人民幣換成1元、2元或5元面值的人民幣，有多少種不同的換法？解：設(shè)對換成1元的人民幣x張，2元的人民幣y張，5元的人民幣z張，則x2y5z=20當(dāng)z=0時(shí)，x2y=20x可以取0、2、4…20，有11種方法。當(dāng)z=1時(shí)，x2y=15x可以取1、3、5…15，有8種方法。當(dāng)z=2時(shí)，x2y=10x可以取0、2、4…10，有6種方法。當(dāng)z=3時(shí)，x2